爬楼梯 递归与非递归，动态规划

70. 爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2

输出： 2

解释： 有两种方法可以爬到楼顶。

1.  1 阶 + 1 阶

2.  2 阶

示例 2：

输入： 3

输出： 3

解释： 有三种方法可以爬到楼顶。

1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶

2.  1 阶 + 2 阶

3.  2 阶 + 1 阶

思路：

  所有学算法和数据结构，甚至是小学生数学竞赛都必然遇见的题目了。经典的斐波那契数列。结论：爬到第n个台阶的方法，等于爬到第n-1个台阶的方法数+爬到第n-2个台阶的方法数。原理在于：我们要爬到第n个台阶，就必然要从第n-1或者n-2个台阶处迈上去。

  最方便的方法就是递归，定义函数f(n)，返回f(n-1)+f(n-2)，再定义好base case，如f(0),f(1),f(2)的值就好了。

  但递归看似很方便简单，但它的复杂度其实很高：因为他涉及到大量的重复计算。比如我们算f(5)的时候，会去算f(3),算f(4)的时候又会算f(3)，可以画一棵树来：f（5）两个分支：f（4）和f（3），f（4）又开出两个分支：f（3）和f（2）……这两个出现的f（3）会分别计算，可想而知，假如数据量很大的话，这个方法是非常低效的，每一次都在不断地向下开支散叶，复杂度达2的n次方。

  对递归的优化办法是：加入记忆字典、记忆数组。这个很好理解，我们定义一个全局的数组nums或者字典dict，每次计算除了一个新的f(n)值，就存储在nums[i]，或者dic[i]位置上。下次再遇到计算f（n）时，就先在对应记忆数组或字典里寻找，有的话就不再进行计算了。通过牺牲了O(n)的空间复杂度，我们成功地将递归剪枝，将时间复杂度由O(2的n次)降为O(n)。

 还有第三种方法，前两种递归的方法，其实都是自顶向下的，所以会造成重复计算的风险。我们其实可以直接自底向上去逼近目标，就可以按部就班的计算出最终结果。定义一个存放结果的数组，从底向上地去生成即可。发现了吗——这其实也有点像动态规划的意思了。

代码（方法3）：

class Solution(object):

    def climbStairs(self, n):

        dp=[0]*(n+2)#dp[n]表示到第n阶的方法数

        dp[0]=1#初始化

        dp[1]=1

        for i in range(2,n+1):#自底向上去生成 直到最终结果

            dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]

        return dp[n]

小结：

       代码中初始化dp时有个（n+2），这是因为下标从0开始，如果不+2会越界。其实+3，+4都一样，最终我们能取到dp[n]即可。

       这道题虽然很简单，但非常值得拿来理解递归以及动态规划的思想。前两种方法可以自己练习写出。但从复杂度和方便实现的角度上，最推荐第三种也就是我给出代码的这种来实现。