编辑距离 动态规划

72. 编辑距离

给你两个单词 word1 和 word2，请你计算出将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数 。

你可以对一个单词进行如下三种操作：

• 插入一个字符
• 删除一个字符
• 替换一个字符

示例 1：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"

输出：3

解释：

horse -> rorse (将 'h' 替换为 'r')

rorse -> rose (删除 'r')

rose -> ros (删除 'e')

示例 2：

输入：word1 = "intention", word2 = "execution"

输出：5

解释：

intention -> inention (删除 't')

inention -> enention (将 'i' 替换为 'e')

enention -> exention (将 'n' 替换为 'x')

exention -> exection (将 'n' 替换为 'c')

exection -> execution (插入 'u')

思路：

  编辑距离是经典的用二维动态规划解决的问题！不要想着用你自己的智商和方式去解决这个问题，这样只会很痛苦和怀疑自己；知道是动态规划的套路之后，记住解决方法即可！

  定义一个动态规划数组dp[][]，dp[i][j]表示只考虑第一个字符串的前i位和第二的字符串的前j位，要进行几次操作。为了方便理解，我们从下标为1开始，可知最终结果就是要求dp[lenth1][lenth2]。

  首先我们要定义base case，如果dp[i][j]，i或j有任何一方是0，相当于我们把一个空字符串变成一个非空字符串（dp[0][j]），只能是不断添加，添加j位；或者把一个非空字符串变成一个空字符串（dp[i][0]）,只能是不断删除，删除i位。即当出现空字符串时，编辑距离是对方的长度。

  对于其他情况，如果你想一步到位。就请直接记住这个非常好记的状态转移方程：

  dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1

  然后直接跑到下面去看代码，把一些细节看清，这篇文章就可以结束了。下面的可以不看了。

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  好的，接下来是对详细思路的一个碎碎念。除去base case之后，当我们的i指针和j指针在两个字符串上游走时：如果这两个所处位置字符相同，则直接dp[i][j]=dp[i-1][j-1]，因为这两个是一样的，不需要做任何“编辑”；如果字符不同，则就来到了我们的dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1，最后面的+1是很好理解的，因为既然这两个字符不同，我们就必然要进行一次编辑操作，即操作数+1。但关键是，我们怎么知道要做哪一种操作呢？我们有“删除”，“插入”和“替换”三种选择，其实就对应着代码里min（）当中的三种写法，因为我们不知道哪种操作的操作数最少，所以加上min()。

  比如说对于“替换”的操作，我们需要把字符串1当中的第i位变成和字符串2当中的第j位，进行了一次操作后，我们就可以前移i和j，继续去对比dp[i-1][j-1]，所以“替换”操作下，dp[i][j]就等于dp[i-1][j-1]+1。至于删除和插入操作，也是类似:

  删除操作，把字符串1的i位置删掉，然后去前移i，去计算dp[i-1][j]

  插入操作，在字符串1的i位置后插入一个字符，使与字符串2的j位置相同，这样搞定了字符串2的j位置，j前移，继续去计算dp[i][j-1]

  可以结合图去理解（这里再次推荐《labuladong的算法小抄》，上面有很清楚的图片解释）。

代码：

class Solution(object):

    def minDistance(self, word1, word2):

        len1 = len(word1)

        len2 = len(word2)

        dp=[[0]*(len2+1) for _ in range(len1+1)]#初始化二维数组

        #定义base case 如果一个是0，则修编辑距离直接等于对方的长度

        for i in range(1,len1+1):

            dp[i][0]=i

        for j in range(1,len2+1):

            dp[0][j]=j

        #开始用正式动态规划

        for i in range(1,len1+1):

            for j in range(1,len2+1):

                if word1[i-1]==word2[j-1]:#如果字符相同

                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]#跳过 不操作

                else:#若字符不同

                    #下面分别对应删除 插入 替换操作，都是操作 都要+1

                    #因为我们不知道那种操作的操作数最少，取min，别写成max

                    dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1])+1#别忘了操作+1

        return dp[len1][len2]

小结：

  注意，我们是以下标从1开始定义dp数组的，所以dp数组的长度定义为lenth+1，dp[0]我们也有用处。然后我初始化二维数组的方式也是非常常见的用法，一定要掌握。

  写到这个博客时我突然悟出了一个道理，人对算法学习就是这么奇怪哈，有时候能永远理解道理，却不能永远记忆用法和实现细节；有时候不能永远理解道理，却能永远记住写法。不管怎么说，选择合适自己的，最终能把题做出来就好~