不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

难度中等1446

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

示例 1：

输入：n = 3

输出：5

示例 2：

输入：n = 1

输出：1

思路：

  这道题初次看起来确实无从下手。虽然我的脑海里对于某一数目n的节点能快速地闪现出各种各样的排布方式，然而那些都毫无规律和逻辑可言。所以我们对于这道题要做的就是找到正确的拆分逻辑，把看似花样繁多的排布分出类别来。

  直接上正确思路：我们给了n个节点，我们必然要拿出一个作为根节点吧。那就是还剩n-1个节点我们要来分配到子节点当中去。那这n-1个节点怎么分配到左右呢？很简单：（0，n-1），（1，n-2），（2，n-3）……（n-1，0），只能分成这么几类。而拿出任何一类出来，比如(0,n-1)：对于这n-1个子节点（相当于根节点的子节点全部在它的右子树上了），我们又回到了原问题：“n-1个节点有几种排布方式”。当然，对于根节点的左子树0，肯定是只有1种排布方式了。最后，只要把左子树排布方式数目*（乘以）右子树排布方式数目，就得到了这一类的总数目。

       通过描述，可以发现这一题可以用类似递归的方式去做，但递归还需要加上去重，否则会有很高的复杂度。所以我们转化为使用动态规划的方式，自底向上地去生成到结果。

       我们定义动态规划数组dp[],dp[n]表示n个节点的二叉搜索树的个数。

代码：

class Solution(object):

    def numTrees(self, n):

    # 动态规划

    # 分析可得:dp(n) = dp(0)*dp(n-1)+dp(1)*(n-2)+...+dp(n-1)*dp(0)

        #规定dp[0]=1 f(1)=dp(0)*dp(0),所以这个base case：dp(0)是1

        dp=[0]*(n+1)

        dp[0]=1

        for i in range(1,n+1):

            for j in range(i):

                dp[i]+=dp[j]*dp[i-j-1] #是+=不是= 

        return dp[n]

小结：

       代码的巧妙之处在于根据dp(n) = dp(0)*dp(n-1)+dp(1)*(n-2)+...+dp(n-1)*dp(0)这一结论通过两层循环写出状态转移方程，实在是有点取巧的感觉。但只要有这一结论，写出状态转移方程就不是难事了。还是老话：一半理解一半记忆地去解决这一问题。