买卖股票的最jia时机III

123. 买卖股票的最佳时机 III

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。

设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入：prices = [3,3,5,0,0,3,1,4]

输出：6

解释：在第 4 天（股票价格 = 0）的时候买入，在第 6 天（股票价格 = 3）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

     随后，在第 7 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 8 天 （股票价格 = 4）的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-1 = 3 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]

输出：4

解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5-1 = 4 。   

     注意你不能在第 1 天和第 2 天接连购买股票，之后再将它们卖出。   

     因为这样属于同时参与了多笔交易，你必须在再次购买前出售掉之前的股票。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1] 

输出：0 

解释：在这个情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。

示例 4：

输入：prices = [1]

输出：0

思路：

  解决这一题，请一定要有最初始问题：LeetCode买卖股票的最jia时机的模板基础！！掌握了一题就掌握了所有题！

  这一题是个困难题了。相应的我们不能再像之前两道题那样把模板当中的第二维删除，只用二维动态规划数组了。

还是先把模板拿出来：

dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])

dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])

  首先对于这一题，第二维是不可以删除了，我们知道交易次数为2，则k的取值可以有0，1，2三个值，我们定义三维数组时在第二维就可以定义3的大小。

  其次定义base case时，原来我们只考虑第0天不可能持有（dp[0][k][1]=-float(‘inf’)）。现在我们还要加上交易次数为0不可能持有（dp[i][0][1]=-float(‘inf’)）。反正说来说去，base case一共就是这么两类，“当第3维持有情况为1时，第1维或第2维都不能为0！”

  至于状态转移，原先只需要对i进行遍历：for i in range(1,lenth+1)，现在还需要套一层对k的遍历： for k in range(1,3)，紧接着就是完完全全的整套模板即可。

代码：

class Solution(object):

    def maxProfit(self, prices):

        #老规矩先写总模板做参考

        # dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i])

        # dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i])

        lenth = len(prices)

        #定义动态规划三维数组

        # dp=[[[0,0]]*3 for _ in range(lenth+1)]#错误定义方式

        dp =[[[0]*2 for _ in range(3)] for _ in range(len(prices)+1)]

        #第一个要定义的base case  第0天却持有的情况

        for kk in range(3):

            dp[0][kk][1]=-float('inf')#

        #第二个要定义的base case 交易次数为0却持有的情况:

        for i in range(1,lenth+1):

            dp[i][0][1]=-float('inf')

        for i in range(1,lenth+1):#写上两层循环就可以套模板了

            for k in range(1,3):#k取值1到2嘛

                dp[i][k][0]=max(dp[i-1][k][0],dp[i-1][k][1]+prices[i-1])

                dp[i][k][1]=max(dp[i-1][k][1],dp[i-1][k-1][0]-prices[i-1])

        return dp[lenth][2][0]#最终返回的是dp[lenth][2][0]，非dp[lenth][0][0]

小结：

  这一题要定义三维数组，定义方式为：dp =[[[0]*2 for _ in range(3)] for _ in range(len(prices)+1)]

其中2是第三维的大小，3是第二维k的大小，len(prices)+1是第一维i的大小。我们定义多维数组时，除了常数可以通过*n的方式去复制外，外层的数组必须通过for循环的方式去生成。

   比如：[[0,0]]*3 与 [[0,0] for i in range(3)] 是不同的。因为前者并不是真正的复制,有可能涉及到“动一处而动全身”的出现，这一问题往往很难被发现（我就被错误的定义方式折磨到怀疑人生过）。因此定义多维数组，就记住要用for循环的方式！

    最后返回的是dp[lenth][2][0]，代表第lenth天，总交易次数为2，且不持有的最大利润，是符合dp定义含义的。交易次数是“总交易次数”，不是“剩余交易次数”，所以不要把2写成0。