除自身以外数组的乘积 动态规划

238. 除自身以外数组的乘积

给你一个长度为 n 的整数数组 nums，其中 n > 1，返回输出数组 output ，其中 output[i] 等于 nums 中除 nums[i] 之外其余各元素的乘积。

示例:

输入: [1,2,3,4]输出: [24,12,8,6]

提示：题目数据保证数组之中任意元素的全部前缀元素和后缀（甚至是整个数组）的乘积都在 32 位整数范围内。

说明: 请不要使用除法，且在 O(n) 时间复杂度内完成此题。

进阶：
你可以在常数空间复杂度内完成这个题目吗？（ 出于对空间复杂度分析的目的，输出数组不被视为额外空间。）

思路：

  这道题用动态规划来做。

  使用动态规划的话我们需要额外开辟数组，虽然题目中的进阶要求希望空间复杂度为常数级别，但前提也得是先知道动态规划方法，然后再在此基础上进行压缩，就可以实现常数级别的空间复杂度。这就像股票买卖问题一样，空间复杂度的降低来自于在先前方法基础上的优化，但本质都是相同的。

  如何使用动态规划呢？题目要求不许用除法，所以我们求每一个数的“除自身以外的乘积”，就老老实实算它左边的乘积，和右边的乘积就好了。

  所以我们用最好理解的办法：定义left_dp，和right_dp两个动态规划数组。left_dp[i]表示nums[i]这个数左边所有数的乘积；right_dp[i]则代表这个位置右边所有数的乘积。只要我们提前求出来这两个数组，那么就可以在只遍历一遍原数组的情况下求出各个位置“除自身以外的乘积”了。

  状态转移方程也很简单，以left_dp为例，有：left_dp[i] = nums[i-1]*left_dp[i-1]，根据dp数组的意思应该很好理解了：i位置前的乘积=i-1位置的值*i-1位置前的乘积。

代码：

class Solution(object):

    def productExceptSelf(self, nums):

        lenth = len(nums)#获得数组长度

        left_dp = [0]*lenth#定义两个dp数组

        right_dp = [0]*lenth

        left_dp[0]=1#初始化，第1位左边的乘机为1

        left_dp[1]=nums[0]#第2位左边的乘积为num[0]

        for i in range(2,lenth):#开始写状态转移方程

            left_dp[i] = nums[i-1]*left_dp[i-1]

        #右边的同理

        right_dp[-1]=1

        right_dp[-2]=nums[-1]

        for i in range(lenth-3,-1,-1):

            right_dp[i] = nums[i+1]*right_dp[i+1]

        res = [0]*lenth

        #利用左右两边相乘得到最终结果

        for i in range(lenth):

            res[i] = left_dp[i]*right_dp[i]

        return res

  在此代码基础上可以去写优化方法，因为给的nums必然是占O(n)空间的，也正好可以利用这个数组进行操，从而实现额外空间复杂度到常数级别。不过优化后代码可读性和理解性就非常差了，想把代码贴出来的，但是发现注释都写不出来，就算了~