课程表 拓扑排序与实现

207. 课程表

你这个学期必须选修 numCourses 门课程，记为 0 到 numCourses - 1 。

在选修某些课程之前需要一些先修课程。 先修课程按数组 prerequisites 给出，其中 prerequisites[i] = [ai, bi] ，表示如果要学习课程 ai 则 必须 先学习课程  bi 。

• 例如，先修课程对 [0, 1] 表示：想要学习课程 0 ，你需要先完成课程 1 。

请你判断是否可能完成所有课程的学习？如果可以，返回 true ；否则，返回 false 。

示例 1：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0]]输出：true解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要完成课程 0 。这是可能的。

示例 2：

输入：numCourses = 2, prerequisites = [[1,0],[0,1]]输出：false解释：总共有 2 门课程。学习课程 1 之前，你需要先完成​课程 0 ；并且学习课程 0 之前，你还应先完成课程 1 。这是不可能的。

思路：

    这一题是经典的拓扑排序问题。

  拓扑排序是一个图问题。我们把每一门课当成一个节点，把“学完课程a才能学课程b”模拟成a到b的一个有向连接。那么题目中给的条件就可以转化为一个有向图。

  如何进行拓扑排序呢？我们每次只从图中取“不被任何节点指向”的“源头结点”，在这一题中也就是不需要任何先验课程的基础课。我们找到这一节点后，将它作为我们开始上的第一节课，并把它从表中删除。

  随着源头结点的删除，就会释放出新的源头结点，我们再重复这样的操作。最终如果所有的节点都可以顺利删除，则我们的课程就可以顺利学完，删除的顺序也就是我们其中一个可行的学习路线；如果最终有部分节点无法删除（即谁都不是源头结点，互相指），则说明这是一个有环图，无法学完课程。

  具体如何实现拓扑排序呢？我们通常使用邻接矩阵或邻接表来表示节点之间的指向关系。

  举个例子，假如有n个节点：

  邻接矩阵是一个n*n的二维数组，假如节点1指向节点2和节点4，则数组[1][2]和数组[1][4]位置为1，其他位置为0；

  邻接表则不耗费n*n的空间，我们只需要一个长度为n的数组，假设节点1指向节点2和节点4，数组[1]位置就存放一个指针，该指针指向具有结点2和节点4这两个元素的链表。

  这道题我们使用邻接表即可。因为是用python来写，所以我们可以使用一个更为方便的数据结构代替链表，这个数据结构就是：集合。用集合来代替链表的功能，写出来就是这样：

  除了邻接表外，我们还需要一个入度表，出度、入度也是图中非常基础的知识点了：对于一个节点，有几个节点指向它，它的入度就是几；它指向其他几个节点，它的出度就是几。我们需要一个入度表来寻找那些入度为0的点，从而根据拓扑排序逻辑将他们删除。

代码：

class Solution(object):

    def canFinish(self, numCourses, prerequisites):

        # 依赖的长度

        clen = len(prerequisites)

        if clen == 0:#没有课程依赖

            return True#肯定可以学完，直接返回True

        # 初始化入度数组，一开始全部为 0

        in_degrees = [0 for _ in range(numCourses)]

        # 初始化邻接表

        adj = [set() for _ in range(numCourses)]

        #adj = [set()]*numCourses这样写则错！这种可变的不能乘 就用for永远的神

        for second, first in prerequisites:#注意题目中给的顺序

            in_degrees[second] += 1#被指向的课程，入度+1

            adj[first].add(second)#节点first的邻接节点里加入second


        #现在入度表和邻接表都初始化好了

        # 首先定义一个队列，遍历一遍入度表，把所有入度为 0 的结点加入队列

        queue = []

        for i in range(numCourses):

            if in_degrees[i] == 0:#因为入度为0，所以

                queue.append(i)#加入队列中的节点（课程）都是可以直接学的

        counter = 0

        while queue:#当队列中有节点

            top = queue.pop(0)#取出（删除）节点

            counter += 1#取出来的课程就相当于目前学的课程，数量+1

            for successor in adj[top]:#找到这个删除节点指向的节点们

                in_degrees[successor] -= 1#把这些节点们的入度-1

                if in_degrees[successor] == 0:#如果哪一个节点入度-1后入度为0

                    queue.append(successor)#则它也可以直接学了，加入队列

        return counter == numCourses#学的课程数等于总课程数，则表示可以学完

小结：

  初始化邻接表的时候，我们用的for循环，而不是 [set()]*numCourses，可以尝试一下看看如果用后者的效果，是会报错的，具体原因就是这样复制出来的是引用复制，会同时改变。总之涉及到此类初始化，都用for会比较好。

  这道题是课程表的初始题，并不需要我们给出所学课程的顺序，只需要判断能否学完所有课程即可，因此只需要判断取出的课程数（可以学的课程数）是否等于总课程数即可。而如果要给出所学课程顺序，则只需要将取出的课程依次存起来即可。