矩阵中的最长递增路径

329. 矩阵中的最长递增路径

给定一个 m x n 整数矩阵 matrix ，找出其中 最长递增路径 的长度。

对于每个单元格，你可以往上，下，左，右四个方向移动。 你 不能 在 对角线 方向上移动或移动到 边界外（即不允许环绕）。

示例 1：

输入：matrix = [[9,9,4],[6,6,8],[2,1,1]]

输出：4

解释：最长递增路径为 [1, 2, 6, 9]。

示例 2：

输入：matrix = [[3,4,5],[3,2,6],[2,2,1]]

输出：4

解释：最长递增路径是 [3, 4, 5, 6]。注意不允许在对角线方向上移动。

示例 3：

输入：matrix = [[1]]

输出：1

思路：

  这道题好像是个困难题，但根据题意你会发现，题目给出的具体最长路径只是用来解释说明用的，并不需要我们真正输出具体的最长路径，只需要一个数字而已。因此我们在思考的时候就不需要去纠结怎么把路径保留、通过已有路径去探索之类的操作了 。

  这道题得借鉴动态规划的思路去做。与常规动态规划不同的是，这道题的dp数组并不是一个真正的数组，而是一个字典。我们不再调用dp[i][j]，而是调用dp[(i,j)]，除了形式上稍有不同之外，我们依然使用类似标准动态规划的方式去状态转移。

  具体思路为：我们定义字典memo，memo[(i,j)]表示以（i,j）位置为终点的路径最大长度。我们知道，(i,j)位置可以来自它的上下左右（如果没越界），因此状态转移方程就可以写成：memo[(i,j)] = max（memo[（i，j）位置的上下左右]）+1

  知道了这个动态规划的基本思路后，我们还需要一个递归函数recur()来帮我们进行实现。这个递归函数的作用就是：传入位置(i,j)，通过状态转移算出对应的memo[(i,j)]值后，把这个键值对添加进memo字典并返回这个值。即每一个位置经过recur函数之后，都可以得到以它结尾的路径的最大长度。函数会将这个值存入memo字典，并返回这个值。

  最终，我们的整个memo字典其实就相当于是一个二维dp数组，里面对应以每一个位置为终点时路径的最大值，我们拿出最大值即可，完全不用关心具体路径是什么。

代码:

class Solution(object):
    def longestIncreasingPath(self, matrix):
        m, n = len(matrix), len(matrix[0])
        memo = {}#记忆字典
        #memo[(i,j)]表示以（i,j）位置为终点的路径最大长度
        def recur(i, j):#函数功能：计算、添加memo[(i,j)]并返回值
            if (i, j) in memo:#如果这个点计算过了，直接返回
                return memo[(i, j)]
            #都初始化为0 这个是base case
            temp1, temp2, temp3, temp4 = 0, 0, 0, 0         
            #base case结束
            #向下没越界 并且可以从下面上来
            if i+1<=m-1 and matrix[i][j]>matrix[i+1][j]:
                temp1 = recur(i+1, j)
            #向右 并且可以从右边过来
            if j+1<=n-1 and matrix[i][j]>matrix[i][j+1]:
                temp2 = recur(i, j+1)
            if i-1>=0 and matrix[i][j]>matrix[i-1][j]:#向上 同理
                temp3 = recur(i-1, j)
            if j-1>=0 and matrix[i][j]>matrix[i][j-1]:#向左 同理
                temp4 = recur(i, j-1)   
            memo[(i, j)] = max(temp1, temp2, temp3, temp4)+1#在4个方向中找到最大的
            return memo[(i, j)]
        for x in range(m):#对每一个位置都进行一遍这个操作
            for y in range(n):
                recur(x, y)
        return max(memo.values())#最后只需在记忆字典中找到最大的值

  这个解法是利用了“记忆字典”（也叫备忘录）来帮助状态存储和状态转移。我们的状态转移看似只考虑了相邻的上下左右四个位置，但因为递归的存在，程序会自行的考虑（递归）到全盘。