博弈论(1): 巴什博奕
(一)巴什博奕(Bash Game):只有一堆n个物品,两个人轮流从这堆物品中取物,规
定每次至少取一个,最多取m个。最后取光者得胜。
显然,如果n=m+1,那么由于一次最多只能取m个,所以,无论先取者拿走多少个,后取者都能够一次拿走剩余的物品,后者取胜。因此我们发现了如何取胜的法则:如果n=(m+1)*r+s,(r为任意自然数,s≤m),那么先取者要拿走s个物品,如果后取者拿走k(≤m)个,那么先取者再拿走m+1-k个,结果剩下(m+1)(r-1)个,以后保持这样的取法,那么先取者肯定获胜。总之,要保持给对手留下(m+1)的倍数,就能最后获胜。
这个游戏还可以有一种变相的玩法:两个人轮流报数,每次至少报一个,最多报十
个,谁能报到100者胜。
巴什博弈博弈论里面最简单的一种形式。以下题目利用巴什博弈可以轻松解决:
1. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846 (brave game)
2. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2147 (kiki's game)
3. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2149 (public sale)
4. http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2188 (选拔志愿者)
下面介绍分析此类题目的通用方法:P/N分析:
P点: 即必败点,某玩家位于此点,只要对方无失误,则必败;
N点: 即必胜点,某玩家位于此点,只要自己无失误,则必胜。
三个定理:
定理:
一、 所有终结点都是必败点P(上游戏中,轮到谁拿牌,还剩0张牌的时候,此人就输了,因为无牌可取);
二、所有一步能走到必败点P的就是N点;
三、通过一步操作只能到N点的就是P点;
以上题目均可以通过P/N分析法来解决。
1 /* 2 problem : 2188 3 */ 4 #include<stdio.h> 5 int main(){ 6 int T; 7 scanf("%d",&T); 8 while(T--){ 9 int n,m; 10 scanf("%d%d",&n,&m) ; 11 if( n % (m+1) ) 12 printf("Grass\n") ; 13 else 14 printf("Rabbit\n"); 15 } 16 return 0; 17 } 18 19 /* 20 problem : 2149 21 */ 22 #include<stdio.h> 23 int main(){ 24 int n,m; 25 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){ 26 if(n%(m+1)){ 27 while(n < m) 28 printf("%d ",n++) ; 29 printf("%d\n",n%(m+1)) ; 30 } 31 else 32 printf("none\n") ; 33 } 34 return 0; 35 } 36 37 /* 38 problem : 2147 39 */ 40 #include<stdio.h> 41 int main(){ 42 int n,m; 43 while(scanf("%d%d",&n,&m) && n){ 44 if(n%2 && m%2) 45 printf("What a pity!\n"); 46 else 47 printf("Wonderful!\n"); 48 } 49 return 0; 50 } 51 52 /* 53 problem : 2188 54 */ 55 #include<stdio.h> 56 int main(){ 57 int T; 58 scanf("%d",&T); 59 while(T--){ 60 int n,m; 61 scanf("%d%d",&n,&m) ; 62 if( n % (m+1) ) 63 printf("Grass\n") ; 64 else 65 printf("Rabbit\n"); 66 } 67 return 0; 68 }