希尔伯特空间

久未提笔，今又信笔，写一写希尔伯特空间。

首先弄清楚几个逻辑；

1.首先内积满足三条件：正定性；共轭对称性；对第一变元线性，即<ax+by,z>=a<x,z>+b<y,z>.同时，内积空间的元素为向量，例如 $x \in R^3$.

2.内积空间中,由内积定义的映射 IIxII=<x,x>^(1/2) 成为E的范数；

3.

范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间 ；

距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间；

线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间；

内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间 ；

 

完备性体现在，内积是E*E-->K的二元连续函数，对 x_n -->x, y_n-->y, n-->无穷，那么 , <x_n,y_n>--><x,y>。

因此如何证明一个内积空间是希尔伯特空间呢，就是证明其完备性，也就是 holder不等式 <x,y> <=IIxII*IIyII <+无穷 即可。

 

一些范例：

1.n维欧式空间和酉空间；

2.L^2空间，即平方可积函数类L^2 [a,b]，定义内积，

$$
\left< x,y \right> =\int_a^b{x\left( t \right) \overline{y\left( t \right) }dt}
$$