函数型流形的估计
假设 我们观测到含噪声的数据 $\left\{ Y_{ij}:1\le i\le n;1\le j\le n \right\} $ 由 随机函数X $\in \mathcal{M}$ 的n个 独立的$X_i$ 构成,即
其中,$t_{ij}$是采样时间点,$\epsilon _{ij}\in \mathbb{R}$ with mean 0 & variation $\sigma ^2$。
接下来第一个任务就是找到一个$\hat{\psi}$,去逼近$\psi$。 先验知识可能会建议一个具体形式的$\psi$(Izem and Marron,2007),或者直接的观测$\psi \left( X_i \right)$。但是总的来说,$\psi$是unknown的,需要由数据去决定。
根据 Tenenbaum et al.(2000),我们用pairwise distances between observed data 去获得$\psi$以保持测地距离,或者用LLE或Laplacian eigenmaps。这些方法都已经被用在多维数据,他们在functional data的应用分为两步。
第一步,当给定d的大小,根据样本点集合 {$X_1,...,X_n$},每个$X_i \in L^2$,
这里,$d_g\left( \cdot ,\cdot \right)$ 是测地距离,目标就是找到n个向量 $\hat \psi \left( X_i \right)$,最小化上面的式子。
方法是由 Multidimensional scaling (MDS) 基于 $d_g\left( X_i, X_j \right)$(COX and COX,2001)。
为了逼近测地距离$d_g\left( X_i, X_j \right)$,我们首先估计 。KL表示用来得到拟合曲线,
这里,$\hat \mu \left( t \right)$ 和 $\hat G \left( t,s \right)$ 用局部线性1维和2维smoothers 用到 pooled data(?没看懂)。$\hat \phi_k \left( t \right)$ 和$\hat \lambda_k \left( t \right)$由传统的向量谱分析应用到 $\hat G \left( t,s \right)$ 的离散形式;then FPCs $\varphi_{ik}$ 是将积分离散化得到
或者用条件期望(具体由 Yao et al.,2005)得到
令 $C_{kl} \left( s,t \right)=\left\{ \lambda_k \left( s \right) \lambda_l \left( s \right) \right\} ^{-1/2} G_{kl}\left( s,t \right)$,其中 $k,l \in \left[ 1,p \right]$。
令 $G_k=\left( C_{k1},...,C_{kp} \right)^T$ 和 $C \left( s,t \right) = \left\{ C_{kl}\left( s,t \right) \right\}$。然后定义个积分算子 $\mathcal{A}:\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$
用协方差核$C \left( s,t \right)$,对任意给定的$f \in \mathbb{H}$, such that
其中,。由于$\mathcal{A}$是线性的,则存在一个特征值$\lambda$和特征方程$f$ in H,满足 $\left( \mathcal{A}f \right) \left( s \right) = \lambda f \left( s \right) $。
由于C是连续,对称,$\left< \mathcal{A}f,f \right>_\mathbb{H} \geq 0$,因此由mercer定理的多元版本,存在一个标准正交基函数 $\phi_r$,使得
for k=1,...,p.