函数型流形的估计

假设 我们观测到含噪声的数据 $\left\{ Y_{ij}:1\le i\le n;1\le j\le n \right\} $ 由 随机函数X $\in \mathcal{M}$ 的n个 独立的$X_i$ 构成，即

                                                      

其中，$t_{ij}$是采样时间点，$\epsilon _{ij}\in \mathbb{R}$ with mean 0 & variation $\sigma ^2$。

接下来第一个任务就是找到一个$\hat{\psi}$，去逼近$\psi$。 先验知识可能会建议一个具体形式的$\psi$（Izem and Marron，2007），或者直接的观测$\psi \left( X_i \right)$。但是总的来说，$\psi$是unknown的，需要由数据去决定。

 根据 Tenenbaum et al.(2000)，我们用pairwise distances between observed data 去获得$\psi$以保持测地距离，或者用LLE或Laplacian eigenmaps。这些方法都已经被用在多维数据，他们在functional data的应用分为两步。

第一步，当给定d的大小，根据样本点集合 {$X_1,...,X_n$}，每个$X_i \in L^2$，

                                       

这里，$d_g\left( \cdot ,\cdot \right)$ 是测地距离，目标就是找到n个向量 $\hat \psi \left( X_i \right)$，最小化上面的式子。

方法是由 Multidimensional scaling (MDS) 基于  $d_g\left( X_i, X_j \right)$（COX and COX,2001）。

为了逼近测地距离$d_g\left( X_i, X_j \right)$，我们首先估计 。KL表示用来得到拟合曲线，

                                                   

这里，$\hat \mu \left( t \right)$ 和 $\hat G \left( t,s \right)$ 用局部线性1维和2维smoothers 用到 pooled data（？没看懂）。$\hat \phi_k \left( t \right)$ 和$\hat \lambda_k \left( t \right)$由传统的向量谱分析应用到 $\hat G \left( t,s \right)$ 的离散形式；then FPCs $\varphi_{ik}$ 是将积分离散化得到

                                               

或者用条件期望（具体由 Yao et al.,2005）得到

                                               

令 $C_{kl} \left( s,t \right)=\left\{ \lambda_k \left( s \right) \lambda_l \left( s \right) \right\} ^{-1/2} G_{kl}\left( s,t \right)$，其中 $k,l \in \left[ 1,p \right]$。

令 $G_k=\left( C_{k1}，...，C_{kp} \right)^T$ 和 $C \left( s,t \right) = \left\{ C_{kl}\left( s,t \right) \right\}$。然后定义个积分算子 $\mathcal{A}：\mathbb{H} \rightarrow \mathbb{H}$

用协方差核$C \left( s,t \right)$，对任意给定的$f \in \mathbb{H}$， such that

                                                             

其中，。由于$\mathcal{A}$是线性的，则存在一个特征值$\lambda$和特征方程$f$ in H，满足 $\left( \mathcal{A}f \right) \left( s \right) = \lambda f \left( s \right) $。

由于C是连续，对称，$\left< \mathcal{A}f,f \right>_\mathbb{H} \geq 0$，因此由mercer定理的多元版本，存在一个标准正交基函数 $\phi_r$，使得

                              

for k=1,...,p.