剑指Offer | day9_动态规划

前情提要
2021/10/3 | 占坑
明天再进行编辑

剑指 Offer 42. 连续子数组的最大和

输入一个整型数组，数组中的一个或连续多个整数组成一个子数组。求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为O(n)。

示例1:

输入: nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

提示：

• 1 <= arr.length <= 10^5
• -100 <= arr[i] <= 100

思路：

Krahets的解法

令 f(i) 是以 i 为结尾的连续最大子段和（以 i 结尾的目的是为了保证连续性），f(i) 的值考虑两种情况

1. 当 f(i-1) > 0 时，认为 f(i-1) 的加入可以使得 f(i) 增大，且根据假设可知，nums[i] 的加入不破坏连续性
   • 转移方程：f(i) = f(i-1) + nums[i]
2. 当 f(i-1) < 0 时，认为 f(i-1) 的加入会使 f(i) 的值变小，所以抛弃前面所求得的子段，以 nums[i] 作为新子段的开头
   • 转移方程：f(i) = nums[i]

方法：动态规划

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int preSum = 0;
        int maxSum = INT_MIN;
        for(int i = 0; i < nums.size(); i++) {
            preSum = max(preSum + nums[i], nums[i]);
            maxSum = max(preSum, maxSum);
        }
        return maxSum;
    }
};

• 时间复杂度 O(n)
• 空间复杂度 O(1)

剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

思路：

Krahets的解法

利用转移方程 f(i,j) = max[f(i,j-1), f(i-1,j)] +grid(i,j)，将grid[i][j]更新成目前下标的累积最大值

方法：动态规划

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        int i = 1;
        int j = 1;
        // 处理第一行
        for(; j < grid[0].size(); j++) {
            grid[0][j] += grid[0][j-1];
        }
        // 处理第一列
        for(; i < grid.size(); i++) {
            grid[i][0] += grid[i-1][0];
        }
        // 处理余下的部分
        for(i = 1; i < grid.size(); i++) {
            for(j = 1; j < grid[0].size(); j++) {
                grid[i][j] += max(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[grid.size()-1][grid[0].size()-1];
    }
};

• 时间复杂度 O(mn)
• 空间复杂度 O(1)