正多边形内点黄金分割冒险游戏
1. 题目：
正多边形 内点的冒险游戏
内容描述：
- 选定五边形（P1, P2, ..., P5）内的一个任意点 P0 。
- 从 P0 出发，到任意顶点距离的 0.618 的点P0’（黄金分割点），给该P0’点着色。
- 从P0’点出发，重复第2步, 求得新的黄金分割点并着色。
- 以上重复 N 次，比如，30000次
问题： 最后所有黄金分割点形成的图案。
2. 思考
-
步骤一： 正多边形生成问题
- 以原点为中心，长度为a，每次旋转 angle = 2* PI /n 弧度 .
- 计算顶点的坐标 ： Points ( a * cos(angle), angle
- 计算正多边形的顶点坐标集合。 Points(a * cos(angle), a * sin(angle) )
- 上述步骤定义成一个函数，返回一个列表，列表的每一项为坐标（x，y）
-
步骤二：黄金分割点的计算 ：P0点到 PN点 距离的 0.618
- P0' = P0 + (PN-P0) * 0.618
-
步骤三：显示多边形和黄金分割点
- 用 plot 或 scatter 画线 和 点
3. 代码
- 步骤一：定义正多边形函数
# Step 1.1 ： 定义 正 n 边形的函数，calculate_pentagon_vertices， 返回顶点坐标列表
# 方法，以原点为中心，旋转 angle = 2 * math.pi / n 弧度，然后利用cos，sin 计算顶点坐标
#
import math
def calculate_pentagon_vertices(a, n): # a 为原点到顶点的距离 ，n 为正n 边形顶点个数
# 正 n边形的中心角度
angle = 2 * math.pi / n
# 列表 vertices存放顶点坐标，用于返回
vertices = []
# 计算正n边形的顶点
for i in range(n):
# 计算每个顶点的x和y坐标
x = a * math.cos(i * angle)
y = a * math.sin(i * angle)
vertices.append((x, y))
return vertices
# step 1. 2： 调用函数，得到一个顶点列表 vertices
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,5)
- 步骤二：计算黄金分割点，并显示
# step 2: 计算黄金分割点，并显示
import matplotlib.pyplot as plt
import random
Golden = 0.618
Number = 40000 # 黄金分割次数
# vertices 将第1项追加尾部，为了绘图时候首尾相连。注意：执行后vertices长度增加了一个
vertices.append(vertices[0])
X = [Point[0] for Point in vertices] # Point 为顶点
Y = [Point[1] for Point in vertices]
# 使用plot()绘制正多边形
plt.plot(X, Y, marker='o', linestyle='-') # marker='o' 指定点为圆圈，linestyle='-' 指定线为实线
# 单独绘制起始点 ，我们这里设置为原点
plt.plot(0, 0, 'ro') # 'r' 表示红色，'o' 表示圆圈
P0_x, P0_y = 0, 0
plot_x = [] # 方法三：存放所有黄金分割点的 坐标，P0_x
plot_y = [] # 方法三：存放所有黄金分割点的 坐标，P0_y
for i in range(Number):
# 随机指定一个顶点 PN
PN = random.randint(1,len(vertices)-1)
# 求 P0 --- PN 之间的新的点，仍然记为 P0
P0_x = P0_x + (X[PN]- P0_x)* Golden
P0_y = P0_y + (Y[PN]- P0_y)* Golden
# plt.plot(P0_x, P0_y, 'go') # 方法一： plot 绘图 'r' 表示红色，'o' 表示圆圈
# plt.scatter(P0_x, P0_y, color = 'green') # 方法二： scatter 绘图 ,一次一个点
plot_x.append(P0_x) # 方法三： 保存所有黄金点 X坐标，循环结束时候，scatter 绘图
plot_y.append(P0_y) # 方法三： 保存所有黄金点 Y坐标，循环结束时候，scatter 绘图
plt.plot(plot_x[0], plot_y[0], 'bo') # 删除第一个黄金分割点之前，先绘制该点 （换个颜色）
del plot_x[0] # 删除第一个黄金分割点，why？ 可以对比一下绘图结果。
del plot_y[0] # 删除第一个黄金分割点，why？ 可以对比一下绘图结果。
plt.scatter(plot_x, plot_y, color = 'green') # 方法三： 保存所有黄金点 Y坐标，循环结束时候，scatter 绘图
# 设置标题和坐标轴标签
# plt.title('line and point')
plt.axis('equal') # 保持纵横比相等
# plt.xlabel('x轴')
# plt.ylabel('y轴')
# 显示网格
plt.grid(True)
# 显示图表
plt.show()
4. 结果
如图：
5. 改进
- 将代码 step2 封装为一个函数
# 定义一个函数
def draw_golden(vertices, Number = 40000, Golden = 0.618):
# step 3: 计算黄金分割点，并显示
import matplotlib.pyplot as plt
import random
# vertices 将第1项追加尾部，为了绘图时候首尾相连。注意：执行后vertices长度增加了一个
vertices.append(vertices[0])
X = [Point[0] for Point in vertices] # Point 为顶点
Y = [Point[1] for Point in vertices]
# 使用plot()绘制正多边形
plt.plot(X, Y, marker='o', linestyle='-') # marker='o' 指定点为圆圈，linestyle='-' 指定线为实线
# 单独绘制起始点 ，我们这里设置为原点
plt.plot(0, 0, 'ro') # 'r' 表示红色，'o' 表示圆圈
P0_x, P0_y = 0, 0
plot_x = [] # 方法三：存放所有黄金分割点的 坐标，P0_x
plot_y = [] # 方法三：存放所有黄金分割点的 坐标，P0_y
for i in range(Number):
# 随机指定一个顶点 PN
PN = random.randint(1,len(vertices)-1)
# 求 P0 --- PN 之间的新的点，仍然记为 P0
P0_x = P0_x + (X[PN]- P0_x)* Golden
P0_y = P0_y + (Y[PN]- P0_y)* Golden
# plt.plot(P0_x, P0_y, 'go') # 方法一： plot 绘图 'r' 表示红色，'o' 表示圆圈
# plt.scatter(P0_x, P0_y, color = 'green') # 方法二： scatter 绘图 ,一次一个点
plot_x.append(P0_x) # 方法三： 保存所有黄金点 X坐标，循环结束时候，scatter 绘图
plot_y.append(P0_y) # 方法三： 保存所有黄金点 Y坐标，循环结束时候，scatter 绘图
plt.plot(plot_x[0], plot_y[0], marker='o', color = 'b') # 删除第一个黄金分割点之前，先绘制该点 （换个颜色）
del plot_x[0] # 删除第一个黄金分割点，why？ 可以对比一下绘图结果。
del plot_y[0] # 删除第一个黄金分割点，why？ 可以对比一下绘图结果。
plt.scatter(plot_x, plot_y, color = 'green') # 方法三： 保存所有黄金点 Y坐标，循环结束时候，scatter 绘图
# 设置标题和坐标轴标签
plt.axis('equal') # 保持纵横比相等
# 显示网格
plt.grid(True)
# 显示图表
plt.show()
- 测试一： 改变 边数
- 正三边形（等边三角形），结果：
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,3)
draw_golden(vertices, 1000)
- 四边形
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,4)
draw_golden(vertices, 1000)
- 正五边形
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,5)
draw_golden(vertices, 10000)
- 正六边形
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,6)
draw_golden(vertices, 10000)
- 测试2： 改变黄金分割参数
vertices = calculate_pentagon_vertices(2,6)
draw_golden(vertices, 10000, 0.7)
