Prufer 序列

Prufer 序列

基本介绍

Prufer 序列是一个大小为 $n-2$，值域在 $[1,n]$ 的序列。完全图生成树和 Prufer 序列形成双射。

对树建立 Prufer 序列：每次选择编号最小的叶节点删去，在序列中记录叶节点的父亲，重复 $n-2$ 次结束。

用 Prufer 序列建立树：计算出每个节点的度数，每次选择一个度数为 1 的编号最小的节点与当前 Prufer 序列中的开头节点连接，两个点度数同时减 1，删去 Prufer 序列的开头，重复 $n-2$ 次，剩下两个度数为 1 的点连起来。

两种操作均可以线性实现。

生成函数形式

$(x_1+x_2+x_3+\cdots+x_n)^{n-2}=\sum_{T}\prod_ix_i^{d_i-1}$，
其中 $T$ 是枚举一棵 $K_n$ 的生成树，$d_i$ 是生成树中点 $i$ 的度数。

我们有了这个形式可以很轻松的计算这样一个问题：
对于 $n$ 个点的有标号图有 $k$ 个连通块，连通块点数为 $\{a\}$，我们希望添加 $k-1$ 条边使得整个图连通，求方案数。

考虑答案即为 $\sum_{T}\prod_{i=1}^ka_i^{d_i}$，这和上述生成函数形式很接近，我们稍加变换可以得到：
$\prod_{i=1}^ka_i\sum_{T}\prod_{i=1}^ka_i^{d_i-1}=\prod_{i=1}^ka_i\times n^{k-2}$。

Cayley 公式与扩展 Cayley 公式

Cayley 公式：完全图 $K_n$ 有 $n^{n-2}$ 棵生成树。

扩展 Cayley 公式：对于钦定的 $k$ 个点，完全图 $K_n$ 有 $k\cdot n^{n-k-1}$ 个生成森林满足 $k$ 个点在不同的树中。

证明可以生成函数+拉反。

完全 k 分图的生成树个数

完全 2 分图 $K_{n,m}$ 的生成树个数是一个经典问题，答案为 $n^{m-1}m^{n-1}$。证明可以考虑 Matrix-Tree 或者定义一个魔改的 Prufer 序列。

完全 k 分图的生成树个数的答案是：$n^{k-2}\prod_{i=1}^k(n-n_i)^{n_i-1}$。证明可以考虑容斥（完全图挖掉 k 个团，大力容斥每个团选的边）。