duel 记录

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省流，juju 太菜了，总共 win 了 2 把。

数据实时更新。

1. ？

?
hzr 胜 juju。

是一个低分题，皇子很快秒了，我根本没读懂题意。

2. Jzzhu and Squares

*2900
juju 胜 hzr。

这个题我和皇子都做了非常久。

题意是求格点正方形完整包含的格子个数，注意到格点正方形可以是由“三垂直”结构构成的斜的正方形。

我们考虑一个横平竖直的 $n\times n$ 的正方形的贡献 $f(n)$。
$f(n)=n^2+\sum_{i=1}^{n-1}(n-2i)^2+4g(i,n-i)$。

$g(i,j)$ 是两条直角边为 $i,j$ 的等腰三角形内的完整格点数。运用皮克定理可以得到 $g$ 的式子。

完整的式子推导比较繁琐，最终的式子仅需要知道 $\text{id}\times\varphi(i)$，可以写狄利克雷卷积也可以线性筛。

时间复杂度 $O(n\ln n)$ 或 $O(n)$。

AC 代码

3. Karen and Cards

*2800
hzr 胜 juju。

自己编的做法很多细节，而如果基于值域 $5\times 10^5$ 的话可以使用线段树做法将细节减少非常多。
说说我自己的做法。

考虑按 $a,b,c$ 分别降序排序之后，一个三元组 $(x,y,z)$ 显然会输给三个维度的三个前缀。
而有贡献的三元组等价于对应的三个前缀没有重复元素。

我们考虑枚举 $a$ 维的前缀 $i$，此时 $b$ 维和 $c$ 维分别有一个红线不能越过。而 $b,c$ 在此时一定是一个单调不降和单调不升的双指针结构的贡献。
我们可以提前预处理出 $b$ 往后扫，$c$ 往前扫的贡献，$a$ 维的限制很好处理，我们截取一段 $b$ 的区间即可，可以用二分实现。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

AC 代码

4. Yet Another LCP Problem

*2600
zph 胜 juju。

写了一个 $O(n\log^2n)$ 的 SAM 上树剖做法，调试太慢了败给了 zph/ll。
做法是经典的 [LNOI] LCA。

AC 代码

5. Even Harder

*2700
hzr 胜 juju。

啊啊啊，DP 题被皇子薄纱。这个题思路来得很快但是写起来被莫名其妙的细节卡了好久。

一个朴素的 DP 可以考虑 $f(i,j)$ 表示处理完 $[i,n]$，从 $i$ 出发到 $n$ 只有一条路径，这条路径上的后面一个点是 $j$，最少赋 0 次数。转移考虑枚举下一个路径上的位置即可，容易 $O(n^3)$。

优化可以试图将状态里的 $j$ 这一维去除，考虑如果我们能直接不转移到能一步到达 $j$ 的位置就好了。
我们可以将元素按 $i+a_i$ 降序排序 DP，$f(i,j)$ 表示处理到排名为 $i$ 的元素，那一条唯一能到 $n$ 的路径的最后一个点是 $j$ 时的最少赋 0 次数。

如果我们需要将此时的节点加入路径，我们将第一维跳到 $i+a_i<j$ 的第一个位置，越过所有不合法的位置，将区间里需要赋 0 的元素统计进代价。

时间复杂度 $O(n^2)$。

AC 代码

6. Appropriate Team

*2700
xzy 胜 juju。

这题做了好一会儿不会，xzy 都过了，终于去想对不同质因子分开考虑，很快会做了。

我们对于质因子 $p$ 考虑题目给定限制：
$\exist v,\min(v_p(v),v_p(a_i))=v_p(X),\max(v_p(v),v_p(a_j))=v_p(Y)$。

条件不满足当且仅当 $v_p(a_i)\neq v_p(X)\and v_p(a_j)\neq v_p(Y)\and v_p(X)\neq v_p(Y)$。

我们把 $\dfrac Y X$ 的质因子拿出来，只有这些质因子满足 $v_p(X)\neq v_p(Y)$，由于 $\omega(10^{18})=15$，我们对这些质因子做 FWT 是很轻松的。

时间复杂度 $O(V^{1/4}+2^{\omega(V)}\omega(V))$。

AC 代码

7. Minimum Difference

*3100
juju 胜 hzr。

时限 5s，数据范围全是 1e5，试试带修莫队。

考虑莫队时维护出每个数的 occ 和 occ 为 $i$ 的数的个数。
我们所求即为在后者数组上，最小的一个区间使得区间和不少于 $k$。
而有值的位置不超过 $\sqrt n$ 个，我们可以维护有值的位置拿下来双指针。

我实现的做法是 $O(\dfrac{n^2}{w}+带修莫队+m\sqrt n)$。
带修莫队的块长乱设的，感觉 5s 随便过。

AC 代码

8. Number of Components

*2800
zyf 胜 juju。

为啥题面是 $c_i\le\max(1000,2\times 10^6/n/m)$ 啊/fn/fn。

首先一个一眼的做法是线段树分治，$O(q\log q\log(nm))$，空间 $O(q\log q)$，感觉过不去。

我们考虑利用好题目里的特殊性质 $c_i\le c_{i+1}$。
观察到直接做并查集难以维护的原因是会有分裂操作。
我们可以倒过来做将分裂转化成合并操作，具体的可以维护 $<c$ 的并查集，到 $p$ 的修改时将 $p$ 的点全部删掉，这个部分的贡献正着扫的时候求得。

时间复杂度 $O(q\log (nm)+Cnm)$。

AC 代码

9. Armor and Weapons

*2800
和 zyf 平局

不会做，很神秘，感觉也不是很难。

不妨设 $n\le m$。
一个简单的观察是答案不超过是 $\log n+\dfrac m n$，构造是斐波那契到 $n$ 满了之后一直往第二维堆就行了。

我们可以暴力的 DP $f_{t,i}$ 表示第 $t$ 次操作第一维是 $i$ 时第二维的最大值，复杂度 $O(ans\times n)=O(n\log n+m)$。

AC 代码

10. Cow Tennis Tournament

*2800
hzr 胜 juju

小输 6min，中途去上大号亏麻了，蹲下没一会儿想到了比较关键的地方就会做了。

首先 $s$ 没啥用，排序之后当成每次反转一个区间的边就行了，题目要求我们计数三元环。

在思考直接做无果之后考虑正难则反，反方向考虑不是三元环怎么数。
我们数左中右三种入度/出度为 2 的点就行了，具体的考虑得到 $i$ 号点左边连向它的点数和右边连向它的点数，容易计算出答案。

想计算一个点一遍有多少点连向它可以扫描线线段树维护 01 值，只需要支持区间异或和区间 01 个数。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

AC 代码

11. Duff is Mad

*3000
hzr 胜 juju

怎么 DS 也输？？？

一开始考虑了直接 ACAM 上树剖啥的 polylog，但发现有 trie 树上链查，不太可做。转而思考根号。

考虑对串长根号分治：

• 对于 $k$ 为小串的询问可以丢一起处理，将查询差分变成前缀查询，扫描线，支持子树加，单点查（暴力查询 trie 数上链和）。
• 对于 $k$ 为大串的询问每个 $k$ 单独做一次扫描线，需要支持单点加，子树查。

只需要实现一个 $O(\sqrt S)$ 单点修改，$O(1)$ 区间查询的分块即可平衡复杂度。

时间复杂度 $O(n\sqrt n)$，$n,S$ 同阶就不区分了。

AC 代码