一些关于多项式基底的思考

一些关于多项式基底的思考

常见的基

多项式常见的表示形式有 3 种：

1. 普通幂：$\sum a_ix^i$
2. 下降幂：$\sum b_ix^{\underline i}$
3. 点值表示法（拉格朗日插值）：$\sum y_i\prod_{i\neq j}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}$

这里基的定义即线性空间中的定义，$\{x^i\},\{x^{\underline i}\},\{\prod_{i\neq j}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j}\}$ 均可以张成多项式的线性空间。

下降幂多项式与基底转换

在推导中，记 $c_i=b_ii!$，另一种下降幂多项式的形式是牛顿级数：$\sum c_i\dbinom xi$。
下降幂与点值的关系非常密切。

下降幂与点值的转换

这里的点值指对于 $n$ 次多项式，其 $[0,n]$ 的点值。

$f_k=\sum_{i=0}^kc_i\dbinom k i=n!\sum_{i=0}^k\dfrac{c_i}{i!}\times \dfrac 1{(k-i)!}$，得到一个卷积形式。

即转点值仅需将 OGF $\{b_i\}$ 卷上 $\exp(x)$。
自然的，点值转下降幂只需卷上 $\exp(-x)$ 即可。

复杂度为单次卷积，$O(n\log n)$。

值得一提的是，通过高效的将下降幂多项式转成连续点值形式，我们容易完成下降幂多项式的卷积，沿袭普通幂的思路，转成点值做点乘再逆变换回下降幂即可，复杂度为 $O(n\log n)$。

多项式前缀和与差分

定义多项式 $g$ 为 $f$ 的前缀和，$g$ 满足：$g(n)=\sum_{i=0}^{n-1}f(i)$。
类似的，差分满足：$g(n)=f(n+1)-f(n),n\ge 0$。

对于点值表示法，两者很好做，按照定义处理点值即可，容易做到 $O(n)$。
对于下降幂多项式，一个直接的想法是转点值再转回来，有一个 $O(n\log n)$ 的做法，但还不够好。

我们考虑直接对下降幂多项式做多项式前缀和，那么：

$$g(k)=\sum_{i=0}^{k-1}\sum_{j=0}^{n}c_j\dbinom i j\\ =\sum_{j=0}^{n}c_j\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom i j\\ =\sum_{j=0}^{n}c_j\dbinom{k}{j+1}$$

可以观察到仅是将 $c$ 向后平移了一位即可得到多项式前缀和的牛顿级数系数。

由于差分是前缀和的逆操作，改成把 $c$ 向前平移一位即可得到多项式差分的牛顿级数系数。

时间复杂度 $O(n)$。

下降幂与普通幂的转换

这是一个困难的问题，对于两者的互相转化，学术界目前没有低于 $O(n\log^2n)$ 的做法。

两者都可以通过分治 NTT 做到 $O(n\log^2n)$。
不过因为 NTT 寄了所以就鸽了。

但是两者转化的暴力 $O(n^2)$ 做法还是需要掌握的。

普通幂转下降幂：

$$\sum_{i=0}^na_ix^i\\=\sum_{i=0}^na_i\sum_{j=0}^i{i\brace j}x^{\underline j}\\ =\sum_{j=0}^n(\sum_{i=j}^n{i\brace j}a_i)x^{\underline j}$$

下降幂转普通幂：

$$\sum_{i=0}^nb_ix^{\underline i}\\ =\sum_{i=0}^nb_i\sum_{j=0}^i{i\brack j}(-1)^{i-j}x^j\\ =\sum_{j=0}^n(\sum_{i=j}^n(-1)^{i-j}{i\brack j}b_i)x^j$$

普通幂与点值的转换

即多项式多点求值与多项式快速插值，也都只有 $O(n\log^2n)$ 的困难做法。
虽然已经有了新时代的只需多项式求逆的多点求值做法，但是因为 NTT 死了，鸽。

小结

从上述分析来看，下降幂多项式/牛顿级数的优越性在于其与点值的关系非常密切，一个重要的应用是做多项式前缀和非常方便。相较之下，普通幂在处理这类问题就要逊色许多，没有简单快速的做法。