拉格朗日反演学习笔记

拉格朗日反演

复合

定义形式幂级数 $F(x),G(x)$ 的复合为：$F\circ G=F(G(x))=\sum_{i=0}([x^i]F(x))G(x)^i$。
上式有定义（收敛）当且仅当 $F$ 有限（多项式）或者 $G$ 的常数项为 $0$。

【模板】多项式复合函数
存在厉害的 $O((n\log n)^{1.5})$ 做法。
但是更为简单的做法是 $O(n^2+n\sqrt n \log n)$ 的分块暴力（跑得据说比实现不精细的 $O((n\log n)^{1.5})$ 快）。

复合逆

形式幂级数 $F(x),G(x)$ 常数项均为 $0$，且一次项不为 $0$，

若 $G\circ F=x$，则有 $F\circ G=x$，称 $F,G$ 互为复合逆

若 $G\circ F=x$，则 $F\circ G=x$

证明：

首先，满足 $F\circ H=x$ 且常数项为 $0$，一次项不为 $0$ 的多项式 $H$ 一定存在。

那么 $G(F(x))=x,F(H(x))=x$。

则 $G(F(H(x)))=G(x),G(F(H(x)))=H(x)$。

故 $G(x)=H(x)$，证毕。

事实上，常数项均为 $0$，且一次项不为 $0$ 的多项式构成群。

拉格朗日反演的多种形式

若幂级数 $F(x),G(x)$ 常数项均为 $0$，一次项不为 $0$，且 $F,G$ 互为复合逆，$n,k\in \Z$。

最初的形式：

$$[x^n]F^k(x)=\frac k n[x^{-k}]G^{-n}(x)$$

进行简单的变换，一般使用的形式：

$$[x^n]F^k(x)=\frac k n[x^{n-k}](\frac x{G(x)})^{n}$$

$H$ 是一个一般的形式幂级数，将形式 2 线性组合起来，得到扩展拉格朗日反演：

$$[x^n]H(F(x))=\frac 1 n[x^{n-1}]H'(x)(\dfrac{x}{G(x)})^n$$

以及 EI 提出规避求 $n$ 的逆与对 $H$ 求导的另类拉反：

$$[x^n]F^k(x)[x^{n-k}]G'(x)(\frac{x}{G(x)})^{n+1}\\ [x^n]H(F(x))=[x^n]H(x)G'(x)(\frac{x}{G(x)})^{n+1}$$

证明

$$G(F(x))=x\\ G(F(x))^k=x^k\\ (G^k)'(F)\times F'(x)=kx^{k-1}\\ \sum_{i=0}iG^k[i]F^{i-1}F'=kx^{k-1}\\ [x^{-1}]\sum_{i=0}iG^k[i]F^{i-n-1}F'=[x^{-1}]kx^{k-1}F^{-n}\\ \sum_{i=0}iG^k[i][i-n-1=-1]=k[x^{-k}]F^{-n}\\ nG^k[n]=k[x^{-k}]F^{-n}\\ [x^n]G^k(x)=\frac k n[x^{-k}]F^{-n}(x)$$

手动求解复合逆

对于一个封闭形式的幂级数，例如 $\ln(1+2x)$，我们直接复合上复合逆解方程就行。

对于我们仅有一个方程（不含微分）的幂级数，我们在方程的一边留下一个单项 $x$，另一边所有的 $F$ 换成 $x$ 即为其复合逆。

小试牛刀

求 $n$ 个点有标号无根树数量。是的，是 $n^{n-2}$，请使用拉反解决好吗。

记 $F(x)$ 表示答案的 EGF，那么有 $F(x)=x\exp(F(x))$。
$F(x)$ 的复合逆即为 $G(x)=\dfrac{x}{e^x}$。

直接使用拉反：

$$[x^n]F(x)=[x^{n-1}]\dfrac 1 n(\dfrac{x}{G(x)})^n\\ [x^n]F(x)=[x^{n-1}]\dfrac 1 ne^{nx}$$

得到答案 $n^{n-2}$。

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求解 $[x^n]C^k(x)$，其中 $C(x)$ 为卡特兰数。

考虑卡特兰数生成函数方程：$C(x)=xC^2(x)+1$。
由于 $[x^0]C(x)$ 非 $0$，其没有复合逆，我们构造其去掉常数项的形式幂级数 $B(x)=C(x)-1$，那么 $B(x)=x(B(x)+1)^2$。

所求即为 $[x^n](B(x)+1)^k$，令 $H(x)=(x+1)^k$，则所求为 $[x^n]H\circ B$。
计算 $B$ 的复合逆 $A$，$A=\dfrac{x}{(x+1)^2}$。
使用扩展拉反：

$$[x^n]H(B(x))=\dfrac 1 n[x^{n-1}]H'(x)(\dfrac{x}{A(x)})^n\\ [x^n]H(B(x))=\dfrac 1 n[x^{n-1}]k(x+1)^{k-1}(x+1)^{2n}\\ [x^n]H(B(x))=\dfrac{k}{n}\dbinom{2n+k-1}{n-1}$$

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ABC222H，我们忽略组合计数，得到生成函数方程的部分。
求 $[x^n]F$，满足 $F=x(F+(F+1)^2)^2$。

计算其复合逆 $G=\dfrac{x}{(x+(x+1)^2)^2}$。
使用拉反：

$$[x^n]F(x)=\dfrac 1 n[x^{n-1}](\dfrac{x}{G(x)})^n\\ [x^n]F(x)=\dfrac 1 n[x^{n-1}](x+(x+1)^2)^{2n}\\ [x^n]F(x)=\dfrac 1 n\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{2n}{i}[x^{n-1-i}](x+1)^{2(2n-i)}\\ [x^n]F(x)=\dfrac 1 n\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{2n}{i}\dbinom{4n-2i}{n-1-i}$$

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一个更复杂的具体应用是广义二项级数，可以参考：广义二项级数与广义指数级数

在 $H$ 求导很痛苦的情况下，可以考虑使用另类拉反。但好像 EI 认为另类拉反更大的作用是规避了求 $n$ 的逆。