广义二项级数与广义指数级数学习笔记
广义二项级数与广义指数级数
广义二项级数
定义
定义广义二项级数如下：
\[\mathcal B_t(z)=z\mathcal B_t^t(z)+1\tag{1}
\]
记 \(F(z)=\mathcal B_t(z)-1\)，那么有 \(F(z)=z(F(z)+1)^t\)，容易得到 \(F(z)\) 的复合逆 \(G(z)=z(1+z)^{-t}\)。
性质
其有性质：
\[\mathcal B_t^r(z)=\sum_{n\ge 0}\dbinom{tn+r}n\dfrac{z^n}{tn+r}\tag{2}
\]
特别的 \(r=1\) 即为 \(\mathcal B_t(z)\) 的系数，我们直接推导 \(\mathcal B_t^r(z)\) 的系数：
令 \(H(z)=(1+z)^r\)，那么根据扩展拉格朗日反演：
\([z^n]\mathcal B_t^r(z)=[z^n]H(F(z))=\dfrac 1 n[z^{n-1}]H'(z)(\dfrac{z}{G(z)})^n=\dfrac r n\dbinom{tn+r-1}{n-1}\)。
当 \(n>0\) 时有 \(\dfrac r n\dbinom{tn+r-1}{n-1}=\dfrac{r}{tn+r}\dbinom{tn+r}n\)，且 \(n=0\) 时系数显然为 \(1\)。
一个更好的结论是：
\[\dfrac{\mathcal B_t^r(z)}{1-t+t\mathcal B_t^{-1}(z)}=\sum_{n\ge 0}\dbinom{tn+r}nz^n\tag{3}
\]
我们仍然使用扩展拉格朗日反演，令 \(H(z)=\dfrac{(1+z)^r}{1-t+t(1+z)^{-1}}\)。
\[[z^n]H(F(z))=\dfrac 1 n[z^{n-1}]H'(z)(\dfrac{z}{G(z)})^n
\]
我们省略求 \(H'(x)\) 的丑陋部分，使用 EI 更简便的推法，快进到：
\[\begin{aligned}
\ [z^n]\dfrac{\mathcal B_t^r(z)}{1-t+t\mathcal B_t^{-1}(z)}&=\dfrac 1 n\big((tn+r)\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{tn+r}i(t-1)^{n-1-i}-t\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{tn+r}{i}i(t-1)^{n-1-i}\big)\\
&=\dfrac 1 n[z^{n-1}]\big((tn+r)\dfrac{(1+z)^{tn+r}}{1-(t-1)z}-tz\dfrac{((1+z)^{tn+r})'}{1-(t-1)z}\big)\\
&=\dfrac 1 n[z^{n-1}](tn+r)(1+z)^{tn+r-1}\\
&=\dfrac{tn+r}{n}\dbinom{tn+r-1}{n-1}\\
&=\dbinom{tn+r}n
\end{aligned}
\]
广义指数级数
定义广义指数级数如下：
\[\mathcal E_t(z)^{-t}\ln\mathcal E_t(z)=z\tag{1}
\]
这里不加证明的给出结论（与广义二项级数类似，证明考虑扩展拉反）：
\[\mathcal E_t^r(z)=\sum_{n\ge 0}r(tn+r)^{n-1}\dfrac{z^n}{n!}\tag{2}\\
\dfrac{\mathcal E_t^r(z)}{1-tz\mathcal E_t^t(z)}=\sum_{n\ge 0}(tn+r)^n\dfrac{z^n}{n!}
\]
