广义二项级数与广义指数级数学习笔记

广义二项级数与广义指数级数

广义二项级数

定义

定义广义二项级数如下：

$$\mathcal B_t(z)=z\mathcal B_t^t(z)+1\tag{1}$$

记 $F(z)=\mathcal B_t(z)-1$，那么有 $F(z)=z(F(z)+1)^t$，容易得到 $F(z)$ 的复合逆 $G(z)=z(1+z)^{-t}$。

性质

其有性质：

$$\mathcal B_t^r(z)=\sum_{n\ge 0}\dbinom{tn+r}n\dfrac{z^n}{tn+r}\tag{2}$$

特别的 $r=1$ 即为 $\mathcal B_t(z)$ 的系数，我们直接推导 $\mathcal B_t^r(z)$ 的系数：

令 $H(z)=(1+z)^r$，那么根据扩展拉格朗日反演：
$[z^n]\mathcal B_t^r(z)=[z^n]H(F(z))=\dfrac 1 n[z^{n-1}]H'(z)(\dfrac{z}{G(z)})^n=\dfrac r n\dbinom{tn+r-1}{n-1}$。

当 $n>0$ 时有 $\dfrac r n\dbinom{tn+r-1}{n-1}=\dfrac{r}{tn+r}\dbinom{tn+r}n$，且 $n=0$ 时系数显然为 $1$。

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一个更好的结论是：

$$\dfrac{\mathcal B_t^r(z)}{1-t+t\mathcal B_t^{-1}(z)}=\sum_{n\ge 0}\dbinom{tn+r}nz^n\tag{3}$$

我们仍然使用扩展拉格朗日反演，令 $H(z)=\dfrac{(1+z)^r}{1-t+t(1+z)^{-1}}$。

$$[z^n]H(F(z))=\dfrac 1 n[z^{n-1}]H'(z)(\dfrac{z}{G(z)})^n$$

我们省略求 $H'(x)$ 的丑陋部分，使用 EI 更简便的推法，快进到：

$$\begin{aligned} \ [z^n]\dfrac{\mathcal B_t^r(z)}{1-t+t\mathcal B_t^{-1}(z)}&=\dfrac 1 n\big((tn+r)\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{tn+r}i(t-1)^{n-1-i}-t\sum_{i=0}^{n-1}\dbinom{tn+r}{i}i(t-1)^{n-1-i}\big)\\ &=\dfrac 1 n[z^{n-1}]\big((tn+r)\dfrac{(1+z)^{tn+r}}{1-(t-1)z}-tz\dfrac{((1+z)^{tn+r})'}{1-(t-1)z}\big)\\ &=\dfrac 1 n[z^{n-1}](tn+r)(1+z)^{tn+r-1}\\ &=\dfrac{tn+r}{n}\dbinom{tn+r-1}{n-1}\\ &=\dbinom{tn+r}n \end{aligned}$$

广义指数级数

定义广义指数级数如下：

$$\mathcal E_t(z)^{-t}\ln\mathcal E_t(z)=z\tag{1}$$

这里不加证明的给出结论（与广义二项级数类似，证明考虑扩展拉反）：

$$\mathcal E_t^r(z)=\sum_{n\ge 0}r(tn+r)^{n-1}\dfrac{z^n}{n!}\tag{2}\\ \dfrac{\mathcal E_t^r(z)}{1-tz\mathcal E_t^t(z)}=\sum_{n\ge 0}(tn+r)^n\dfrac{z^n}{n!}$$

参考资料

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