竞赛图学习笔记

竞赛图学习笔记

好久之前写的 blog 了，修缮下放上来了！

定义

竞赛图即有向完全图。

性质

1. 竞赛图缩点后DAG图呈链状，每个点向其后所有点连边

   这比较显然。

2. 竞赛图中存在一条哈密顿路径

   考虑归纳，对于 1，2，3 命题成立。

   若结论在 $n=k-1$ 时成立，考虑加入点 $k$。
   若新点连向原路径起点，则存在新路径，若原路径终点连向新点，同理。
   否则，按顺序考虑新点与原路径点的连边，由于 $d_1\to k,k\to d_{k-1}$ 故存在 $d_i\to k,k\to d_{i+1}$。

   原命题成立。

3. 竞赛图存在一条哈密顿回路当且仅当其强连通

   若其存在哈密顿回路显然强连通。
   考虑证明强连通竞赛图一定有哈密顿回路并给出一种构造方法。

   找到一条哈密顿路径 $s\to e$。
   由于竞赛图强连通，找到路径上第一条 $t \to s$ 的边，显然存在这样的 $t$，我们得到了一个 $[s,t]$ 的哈密顿环。
   考虑将一个 $[s,t]$ 的哈密顿环扩展到 $[s,x]$ 的哈密顿环。

   • 若存在 $(x,s)$ ，回路扩展。

   • 若存在 $(x,i),i\in [s,t]$ ，回路亦可扩展。

     

     原回路为红色回路，记 $i$ 在回路中的前驱为 $pre_i$，扩展一条新回路（蓝路径+绿路径）。
     考虑 $t$ 之后的点由于条件限制所有原哈密顿环上的点均可一步到达。

   • 否则，暂时不扩展（这代表 $\forall i\in[s,t]$，有 $i\to x$，由于图强连通，链之后不能全是这样的点）。

   $e$ 点一定能扩展（图强连通）。

   故得到了一个哈密顿回路。

4. 大小为 $n$ 的强连通竞赛图存在大小为 $[3,n]$ 的环

   运用归纳，通过性质 3 可证。

5. 判断竞赛图强连通的高效方法

   将顶点出度序列升序排列，竞赛图强连通等价于不存在 $k<n$ 满足前 $k$ 个出度之和等于 $\dbinom k 2$。
   判断时间复杂度 $O(n\log n)$，朴素 tarjan $O(n^2)$。

   考虑若竞赛图非强连通，则存在不止一个 SCC，由性质1，出度序列升序排列后，链后点一定在链前点之前，我们只需判断最后一个 SCC 大小即可。

   容易发现该做法的正确性。