竞赛图学习笔记
竞赛图学习笔记
好久之前写的 blog 了，修缮下放上来了！
定义
竞赛图即有向完全图。
性质
-
竞赛图缩点后DAG图呈链状，每个点向其后所有点连边
这比较显然。
-
竞赛图中存在一条哈密顿路径
考虑归纳，对于 1，2，3 命题成立。
若结论在 \(n=k-1\) 时成立，考虑加入点 \(k\)。
若新点连向原路径起点，则存在新路径，若原路径终点连向新点，同理。
否则，按顺序考虑新点与原路径点的连边，由于 \(d_1\to k,k\to d_{k-1}\) 故存在 \(d_i\to k,k\to d_{i+1}\)。原命题成立。
-
竞赛图存在一条哈密顿回路当且仅当其强连通
若其存在哈密顿回路显然强连通。
考虑证明强连通竞赛图一定有哈密顿回路并给出一种构造方法。找到一条哈密顿路径 \(s\to e\)。
由于竞赛图强连通，找到路径上第一条 \(t \to s\) 的边，显然存在这样的 \(t\)，我们得到了一个 \([s,t]\) 的哈密顿环。
考虑将一个 \([s,t]\) 的哈密顿环扩展到 \([s,x]\) 的哈密顿环。-
若存在 \((x,s)\) ，回路扩展。
-
若存在 \((x,i),i\in [s,t]\) ，回路亦可扩展。
原回路为红色回路，记 \(i\) 在回路中的前驱为 \(pre_i\)，扩展一条新回路（蓝路径+绿路径）。
考虑 \(t\) 之后的点由于条件限制所有原哈密顿环上的点均可一步到达。 -
否则，暂时不扩展（这代表 \(\forall i\in[s,t]\)，有 \(i\to x\)，由于图强连通，链之后不能全是这样的点）。
\(e\) 点一定能扩展（图强连通）。
故得到了一个哈密顿回路。
-
-
大小为 \(n\) 的强连通竞赛图存在大小为 \([3,n]\) 的环
运用归纳，通过性质 3 可证。
-
判断竞赛图强连通的高效方法
将顶点出度序列升序排列，竞赛图强连通等价于不存在 \(k<n\) 满足前 \(k\) 个出度之和等于 \(\dbinom k 2\)。
判断时间复杂度 \(O(n\log n)\)，朴素 tarjan \(O(n^2)\)。考虑若竞赛图非强连通，则存在不止一个 SCC，由性质1，出度序列升序排列后，链后点一定在链前点之前，我们只需判断最后一个 SCC 大小即可。
容易发现该做法的正确性。
