万能欧几里得算法学习笔记

万能欧几里得算法

基本描述

对于一条直线 $\dfrac {px+r}{q}$，满足 $p>0,q>0,r\in[0,q-1]$，求解有关 $\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor,x$ 的一些函数。
考虑在坐标系上考虑这条直线，从 $(0,0)$ 开始走。

定义当直线穿过一条形如 $y=h(h\in\Z)$ 的横线（下文会称其为横线）时进行一次 U 操作（往上走一格，对一些变量进行一定修改）。
定义当直线穿过一条形如 $x=k(k\in \Z)$ 的竖线（下文会称其为竖线）时进行一次 R 操作（往右走一格，对一些变量进行一定修改）。
特别的，规定直线遇到整点时先 U 后 R。

我们要求 U 和 R 操作有结合律。

算法流程

考虑将问题类似欧几里得算法的迭代过程，递归到子问题中。

$\text{solve}(p,q,r,n,U,R)$ 表示处理 $y=\dfrac{px+r}{q},x\in(0,n]$ 这一条线段，$U,R$ 分别为遇到横竖线的操作序列。

1. 若 $p\geq q$，我们尝试将问题递归到规模为 $p\bmod q$ 的子问题。

   观察到 $p\geq q$ 时，每一个 R 操作前都会有至少 $\lfloor\dfrac p q\rfloor$ 个 U 操作，将其与 R 缩成一个操作，那么考虑新局面下 $x$ 时的 U 操作个数：
   $\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor-x\lfloor\dfrac p q\rfloor=\lfloor\dfrac {px+r}{q}\rfloor-x\dfrac{p-(p\bmod q)}{q}\\=\lfloor\dfrac {px+r-xp+x(p\bmod q)}{q}\rfloor=\lfloor\dfrac{(p\bmod q)x+r}{q}\rfloor$

   递归到子问题 $\text{solve}(p\bmod q,q,r,n,U,U^{p/q}R)$ 即可。

2. 否则，我们需要交换 $p,q$ 的地位，进入第一部分的迭代。

   交换 $p,q$ 地位类似于翻转坐标系，我们考虑第 $a$ 个 R 前有 $\lfloor\dfrac{pa+r}{q}\rfloor$ 个 U。
   考虑第 $b$ 个 U 前有多少个 R，设第 $a$ 个 R 在第 $b$ 个 U 前。

   $$b>\lfloor\frac{pa+r}{q}\rfloor,b>\frac{pa+r}{q}\\a<\frac{qb-r}{p},a\leq\lfloor\frac{qb-r-1}{p}\rfloor$$

   第 $b$ 个 U 前有 $\lfloor\dfrac{qb-r-1}{p}\rfloor$ 个 R。考虑还需解决的问题：

   1. $-r-1$ $\not\in [0,p-1]$

      特殊处理操作序列没有 U 的情况，否则将原操作序列第一个 U 和其之前的 R 拿出来特殊处理。新直线变为 $\dfrac{qx+(q-r-1\bmod p)}p$。

   2. 原问题操作序列结尾是 R，而地位反转后新问题结尾一定是原问题的 U 操作。

      仅剩若干个 R 操作未完成，递归结束后添上 $n-\lfloor\dfrac{q\times cntu-r-1}{p}\rfloor(cntu=\lfloor\dfrac{pn+r}{q}\rfloor)$ 个 R 操作即可。

若合并两个操作序列的复杂度为 $O(c)$，那么万能欧几里得算法的复杂度为 $O(c\log\max(p,q))$。
复杂度证明类似欧几里得算法。

应用场景

对于这样的题目只要想清楚怎么维护操作序列的合并即可，迭代过程的代码都不需要修改！

ll div(ll a,ll b,ll c,ll d){return ((lll)a*b+c)/d;}
node solve(ll p,ll q,ll r,ll n,node U,node R){
    if(!n)return o;
    if(p>=q)return solve(p%q,q,r,n,U,power(U,p/q)+R);
    ll m=div(p,n,r,q);
    if(!m)return power(R,n);
    return (power(R,(q-r-1)/p)+U)+solve(q,p,(q-r-1)%p,m-1,R,U)+power(R,n-div(q,m,-r-1,p));
}

而能合并的操作序列也很广泛，仅要求是线性变换就可以了！

不愧其万能之称。