格路计数相关问题
格路计数相关问题
抄录自 2019 国家候选队论文：《浅谈格路计数相关问题》——戴言
下文不加说明的 \((n,m)\) Dyck 路，一般满足 \(\gcd(n,m)=1\)
Dyck 路
格路
在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，平面格路是指从一个格点到另一格点只走格点的路，格路的长度是指其所走的路的步数
自由路
对于一条 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的格路，若仅使用了上步 \(U=(0,1)\)，水平步 \(L=(1,0)\)，称为一条 \((n,m)\) 自由路
记 \(\mathcal{F}(n,m)\) 为 \((n,m)\) 自由路的集合，\(F(n,m)\) 表示 \(|\mathcal F(n,m)|\)，即 \((n,m)\) 自由路数量
有显然的结论，将每条自由路对应一个 LU 序列：
Dyck 路计数
对于一条 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的自由路，若始终不经过对角线 \(y=\dfrac m n x\) 的下方，则称为一条 \((n,m)\) Dyck 路
记 \(\mathcal D(n,m)\) 为 \((n,m)\) Dyck 路的集合，\(D(n,m)\) 表示 \(|\mathcal D(n,m)|\)，即 \((n,m)\) Dyck 路数量
如何求得 \(D(n,m)\)？我们需要两条引理，在此之前引入两个概念
- 等价格路：称一条格路的循环移位得到的新格路与其等价，将格路 \(P\) 的等价格路集合记为 \([P]\)，记 格路 \(P\) 循环移位 \(k\) 次得到的新格路记为 \(P_k\)
- 格路周期：定义格路 \(P\) 的周期 \(\operatorname{period}(P)\) 为使得 \(P_k=P\) 的最小正整数 \(k\)
引理 1：若 \(\gcd(n,m)=1\)，则 \(\forall P\in \mathcal F(n,m)\)，有 ：
\[\operatorname{period}(P)=n+m \]考虑到 \(|P|=n+m\)，所以 \(\operatorname{period}(P)\leq n+m\)，利用 \(n,m\) 互质的性质使用反证法证明取等
引理 2：若 \(\gcd(n,m)=1\)，则 \(\forall P\in \mathcal F(n,m)\)，\([P]\) 中有且仅有 1 条 \((n,m)\) Dyck 路
存在性：
若 \(P\) 为一条 Dyck 路，显然存在，否则考虑一定存在至少一个点在对角线下方
取所有对角线下方的点中最远的点 \(v\)，从该点断开格路，分成 \(L_1,L_2\) 两部分
取 \(P'=L_2L_1\)，我们可以断言，\(P'\) 一定是一条 Dyck 路
具体证明考虑将坐标系顺时针翻转使得对角线作为新的 \(x\) 轴，\(L\) 相当于 \(-u\)，\(D\) 相当于 \(+v\)，Dyck 路的要求是每个位置前缀和非负
而在对角线下方里对角线最远的点即为新坐标系前缀和最小的位置，随便分析一下显然满足
唯一性：
考虑反证，若存在两个最远的点 \(v_1(x_1,y_1),v_2(x_2,y_2)\)
那么其斜率与对角线相等即 \(\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac m n\)
又因为点坐标不到 \(n,m\)，由于 \(\gcd(n,m)=1\)，矛盾
有趣的是 Raney 引理和上述引理 2 很有联系
Raney 引理：
对于一个序列 \(a\)，若满足 \(\sum a_i=1\)，则存在且仅存在一个循环移位使得所有前缀和为正
根据两个引理，我们能很轻松的得到：当 \(\gcd(n,m)=1\) 时有
\(k\) 个峰的 Dyck 路计数
对于一条 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的自由路中的连续两步，若为 \(UL\)，称为峰，若为 \(LU\)，成为谷
称一个峰 \(UL\) 之间的点为峰点，谷为谷点
有恰好 \(k\) 个峰的自由路数量 \(F(n,m;k)=\dbinom n k\dbinom mk\)，考虑任取峰点即可
有恰好 \(k\) 个峰，且首步为 \(U\)，末步为 \(L\) 的自由路数量 \(F^{UL}(n,m;k)=\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{m-1}{k-1}\)，同样考虑任取峰点，但第一个峰点的横坐标和最后一个峰的纵坐标确定了
记 \(D(n,m;k)\) 为有恰好 \(k\) 个峰的 \((n,m)\) Dyck 路条数
如何计数 \(D(n,m;k)\)？有 \(D(n,m;k)=\dfrac 1 k\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{m-1}{k-1}\)
证明：
考虑对于一个 \(k\) 个峰的 Dyck 路，将其在 \(k-1\) 个谷点断开，每段路一个峰
考虑将其映射到 \(k\) 条循环移位的自由路上（我们知道 \(\gcd(n,m)=1\) 时自由路的周期为其本身）
考虑将一条首步为 \(U\)，末步为 \(L\) 的自由路对应到一条 Dyck 路上，对角线下最远点一定是一个谷点
故 \(D(n,m;k)=\dfrac 1 kF^{UL}(n,m;k)\)
\(t\) Dyck 路计数
对于一条 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的自由路，若其始终不经过直线 \(y=tx\) 下方，则称之为 \(t\) Dyck 路
特别的，若 \(m=tn\)，称其为 \(n\) 阶 \(t\) Dyck 路
特别注意 \(\gcd(n,tn)=n\neq 1\),故上述定理并不适用
有 \(k\) 个峰的 \(n\) 阶 \(t\) Dyck 路个数为：
\[D(n,tn;k)=\frac 1 k\binom{n-1}{k-1}\binom{tn}{k-1} \]考虑到 \(\gcd(n,tn+1)=1\)，直接套用前面的结论
得到 \(D(n,tn+1;k)=\dfrac 1 k\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{tn}{k-1}\)
我们考虑构造 \(\mathcal D(n,tn;k),\mathcal D(n,tn+1;k)\) 的双射
构造参考论文
\(n\) 阶 \(t\) Dyck 路个数为：
\[D(n,tn)=\dfrac 1{tn+1}\dbinom{tn+n}{n} \]考虑累加 \(D(n,tn;k)\) ，配范德蒙德卷积即可得到上式
论文还给出了 \((0,0)\) 到 \((n,m)\) 的 \(k\) 峰 \(t\) Dyck 路个数与 \(t\) Dyck 路个数
Dyck 路的其他等价表示
-
\((n,n)\) Dyck 路是在 \(x\) 轴上方以上步 \(U_1=(1,1)\)，下步 \(D=(1,-1)\)，从 \((0,0)\) 到 \((2n,0)\) 的格路（卡特兰数）
-
\(n\) 阶 \(t\) Dyck 路是在 \(x\) 轴上方，以上步 \(U_1=(1,t)\)，下步 \(D=(1,-1)\)，从 \((0,0)\) 到 \(((t+1)n,0)\) 的格路
不相交格路
\(n\) 阶不交 Dyck 路计数
两条 \((n,n)\) Dyck 路 \(P,Q\) 成为一个 \(n\) 阶 Dyck 路对，若 \(P,Q\) 不交（不算重合），称 \((P,Q)\) 为一个不交 Dyck 路对，否则为相交 Dyck 路对
\(n\) 阶不交 Dyck 路对数为：
其中 \(C_n\) 为卡特兰数的第 \(n\) 项
考虑到相交的条件与 LGV 引理略有不同，考虑将 \(P\) 的路径向左在向上移动一格，起终点变为 \((-1,1),(n-1,n+1)\)，此时若 \(P,Q\) 有公共点便认为它们相交
可以使用 LGV 引理（不相交定义相同且如果起终点反了那么一定会相交），形式不够好看
考虑再将 \(P\) 起点直接向下延伸两格，终点向右延伸两格，那么两条路径的起终点均在 \(y=x\) 上
运用 LGV 引理：即 \(\begin{vmatrix}C_n&C_{n+1}\\C_{n+1}&C_{n+2}\end{vmatrix}\)
事实上可以扩展到计算 \(k\) 条不交 Dyck 路的对数
不交自由路对计数
可以定义不交和不接触两种自由路对
都和上一节类似，上 LGV 即可
这里直接给出式子：
前者为不接触，后者为不交（可以重合）
不接触自由路对与 \(k\) 个峰的 Dyck 路的关系
敏锐的发现从 \((0,0)\) 到 \((k,n-k+1)\) 的不接触自由路对个数与 \(k\) 个峰的 \(n\) 阶 Dyck 路条数相等，均为：
事实上，这两者存在双射
下面直接给论文了/qq
实际应用
鸽了
