格路计数相关问题

格路计数相关问题

抄录自 2019 国家候选队论文：《浅谈格路计数相关问题》——戴言

下文不加说明的 $(n,m)$ Dyck 路，一般满足 $\gcd(n,m)=1$

Dyck 路

格路

在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，平面格路是指从一个格点到另一格点只走格点的路，格路的长度是指其所走的路的步数

自由路

对于一条 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的格路，若仅使用了上步 $U=(0,1)$，水平步 $L=(1,0)$，称为一条 $(n,m)$ 自由路

记 $\mathcal{F}(n,m)$ 为 $(n,m)$ 自由路的集合，$F(n,m)$ 表示 $|\mathcal F(n,m)|$，即 $(n,m)$ 自由路数量

有显然的结论，将每条自由路对应一个 LU 序列：

$$F(n,m)=\dbinom{n+m}{n}$$

Dyck 路计数

对于一条 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的自由路，若始终不经过对角线 $y=\dfrac m n x$ 的下方，则称为一条 $(n,m)$ Dyck 路

记 $\mathcal D(n,m)$ 为 $(n,m)$ Dyck 路的集合，$D(n,m)$ 表示 $|\mathcal D(n,m)|$，即 $(n,m)$ Dyck 路数量

如何求得 $D(n,m)$？我们需要两条引理，在此之前引入两个概念

1. 等价格路：称一条格路的循环移位得到的新格路与其等价，将格路 $P$ 的等价格路集合记为 $[P]$，记 格路 $P$ 循环移位 $k$ 次得到的新格路记为 $P_k$
2. 格路周期：定义格路 $P$ 的周期 $\operatorname{period}(P)$ 为使得 $P_k=P$ 的最小正整数 $k$

引理 1：若 $\gcd(n,m)=1$，则 $\forall P\in \mathcal F(n,m)$，有 ：

$$\operatorname{period}(P)=n+m$$

考虑到 $|P|=n+m$，所以 $\operatorname{period}(P)\leq n+m$，利用 $n,m$ 互质的性质使用反证法证明取等

引理 2：若 $\gcd(n,m)=1$，则 $\forall P\in \mathcal F(n,m)$，$[P]$ 中有且仅有 1 条 $(n,m)$ Dyck 路

存在性：

若 $P$ 为一条 Dyck 路，显然存在，否则考虑一定存在至少一个点在对角线下方

取所有对角线下方的点中最远的点 $v$，从该点断开格路，分成 $L_1,L_2$ 两部分

取 $P'=L_2L_1$，我们可以断言，$P'$ 一定是一条 Dyck 路

具体证明考虑将坐标系顺时针翻转使得对角线作为新的 $x$ 轴，$L$ 相当于 $-u$，$D$ 相当于 $+v$，Dyck 路的要求是每个位置前缀和非负

而在对角线下方里对角线最远的点即为新坐标系前缀和最小的位置，随便分析一下显然满足

唯一性：

考虑反证，若存在两个最远的点 $v_1(x_1,y_1),v_2(x_2,y_2)$

那么其斜率与对角线相等即 $\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\dfrac m n$

又因为点坐标不到 $n,m$，由于 $\gcd(n,m)=1$，矛盾

有趣的是 Raney 引理和上述引理 2 很有联系

Raney 引理：

对于一个序列 $a$，若满足 $\sum a_i=1$，则存在且仅存在一个循环移位使得所有前缀和为正

根据两个引理，我们能很轻松的得到：当 $\gcd(n,m)=1$ 时有

$$D(n,m)=\frac 1 {n+m}\binom{n+m}{n}$$

$k$ 个峰的 Dyck 路计数

对于一条 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的自由路中的连续两步，若为 $UL$，称为峰，若为 $LU$，成为谷

称一个峰 $UL$ 之间的点为峰点，谷为谷点

有恰好 $k$ 个峰的自由路数量 $F(n,m;k)=\dbinom n k\dbinom mk$，考虑任取峰点即可

有恰好 $k$ 个峰，且首步为 $U$，末步为 $L$ 的自由路数量 $F^{UL}(n,m;k)=\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{m-1}{k-1}$，同样考虑任取峰点，但第一个峰点的横坐标和最后一个峰的纵坐标确定了

记 $D(n,m;k)$ 为有恰好 $k$ 个峰的 $(n,m)$ Dyck 路条数

如何计数 $D(n,m;k)$？有 $D(n,m;k)=\dfrac 1 k\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{m-1}{k-1}$

证明：

考虑对于一个 $k$ 个峰的 Dyck 路，将其在 $k-1$ 个谷点断开，每段路一个峰

考虑将其映射到 $k$ 条循环移位的自由路上（我们知道 $\gcd(n,m)=1$ 时自由路的周期为其本身）

考虑将一条首步为 $U$，末步为 $L$ 的自由路对应到一条 Dyck 路上，对角线下最远点一定是一个谷点

故 $D(n,m;k)=\dfrac 1 kF^{UL}(n,m;k)$

$t$ Dyck 路计数

对于一条 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的自由路，若其始终不经过直线 $y=tx$ 下方，则称之为 $t$ Dyck 路

特别的，若 $m=tn$，称其为 $n$ 阶 $t$ Dyck 路

特别注意 $\gcd(n,tn)=n\neq 1$,故上述定理并不适用

有 $k$ 个峰的 $n$ 阶 $t$ Dyck 路个数为：

$$D(n,tn;k)=\frac 1 k\binom{n-1}{k-1}\binom{tn}{k-1}$$

考虑到 $\gcd(n,tn+1)=1$，直接套用前面的结论

得到 $D(n,tn+1;k)=\dfrac 1 k\dbinom{n-1}{k-1}\dbinom{tn}{k-1}$

我们考虑构造 $\mathcal D(n,tn;k),\mathcal D(n,tn+1;k)$ 的双射

构造参考论文

$n$ 阶 $t$ Dyck 路个数为：

$$D(n,tn)=\dfrac 1{tn+1}\dbinom{tn+n}{n}$$

考虑累加 $D(n,tn;k)$ ，配范德蒙德卷积即可得到上式

论文还给出了 $(0,0)$ 到 $(n,m)$ 的 $k$ 峰 $t$ Dyck 路个数与 $t$ Dyck 路个数

Dyck 路的其他等价表示

• $(n,n)$ Dyck 路是在 $x$ 轴上方以上步 $U_1=(1,1)$，下步 $D=(1,-1)$，从 $(0,0)$ 到 $(2n,0)$ 的格路（卡特兰数）

• $n$ 阶 $t$ Dyck 路是在 $x$ 轴上方，以上步 $U_1=(1,t)$，下步 $D=(1,-1)$，从 $(0,0)$ 到 $((t+1)n,0)$ 的格路

不相交格路

$n$ 阶不交 Dyck 路计数

两条 $(n,n)$ Dyck 路 $P,Q$ 成为一个 $n$ 阶 Dyck 路对，若 $P,Q$ 不交（不算重合），称 $(P,Q)$ 为一个不交 Dyck 路对，否则为相交 Dyck 路对

$n$ 阶不交 Dyck 路对数为：

$$\begin{vmatrix}C_n&C_{n+1}\\C_{n+1}&C_{n+2}\end{vmatrix}$$

其中 $C_n$ 为卡特兰数的第 $n$ 项

考虑到相交的条件与 LGV 引理略有不同，考虑将 $P$ 的路径向左在向上移动一格，起终点变为 $(-1,1),(n-1,n+1)$，此时若 $P,Q$ 有公共点便认为它们相交

可以使用 LGV 引理（不相交定义相同且如果起终点反了那么一定会相交），形式不够好看

考虑再将 $P$ 起点直接向下延伸两格，终点向右延伸两格，那么两条路径的起终点均在 $y=x$ 上

运用 LGV 引理：即 $\begin{vmatrix}C_n&C_{n+1}\\C_{n+1}&C_{n+2}\end{vmatrix}$

事实上可以扩展到计算 $k$ 条不交 Dyck 路的对数

不交自由路对计数

可以定义不交和不接触两种自由路对

都和上一节类似，上 LGV 即可

这里直接给出式子：

$$F_{nt}(n,m)=\dfrac 1 n\dbinom{n+m-1}{n-1}\dbinom{n+m-2}{n-1}\\ F_{nc}(n,m)=\dfrac 1 {n+1}\dbinom{n+m+1}{n}\dbinom{n+m}{n}$$

前者为不接触，后者为不交（可以重合）

不接触自由路对与 $k$ 个峰的 Dyck 路的关系

敏锐的发现从 $(0,0)$ 到 $(k,n-k+1)$ 的不接触自由路对个数与 $k$ 个峰的 $n$ 阶 Dyck 路条数相等，均为：

$$\dfrac 1 k\dbinom n{k-1}\dbinom{n-1}{k-1}$$

事实上，这两者存在双射

下面直接给论文了/qq

实际应用

鸽了