左偏树学习笔记
左偏树
左偏树是一种二叉的可并堆，故名思意，左偏树左边的节点多于右边节点
实现
对于堆中的每一个节点，维护一个 \(d\) 值，定义为其往子树走最少多少步走到空节点
我们希望维护出来的堆一直往右走就能最快走到空
左偏树最核心的操作是“合并”
考虑合并两个大小分别为 \(n,m\) 的堆 \(x,y\)
取出一个更优的点，不妨是 \(x\),将 \(x\) 的右儿子和 \(y\) 递归合并
由于合并时一直在往右走，复杂度 \(O(logn+logm)\)
插入操作可视为堆与一个单独节点合并，删除堆顶可视为将堆顶左右儿子合并
值得一提的是，左偏树支持打懒标记（全体加/乘）
可持久化
左偏树支持可持久化，类似线段树合并，合并过程不断新建节点即可
若最初总共有 \(n\) 个节点，考虑合并两个大小分别为 \(s_1,s_2\) 的左偏树
其遍历节点数至多为 \(logs_1+logs_2\)，最多合并 \(n\) 次，时空复杂度 \(O(nlogn)\)
应用
k短路
求s到t的第k短路
考虑先跑出反图上t点的最短路树 \(T\)，复杂度 \(O(mlogm)\)
考虑一条s到t的路径边集 \(P\)，记去除 \(T\) 上的边后的边集为 \(P'\)
\(P'\) 中相邻的两条边 \(e_1,e_2\) 一定满足 \(e_2\) 的起点在 \(e_1\) 终点到 \(t\) 的链上
显然，不同的 \(P'\) 对应了不同的 \(P\)，我们考虑维护 \(P'\) 即可
对于已有的一个 \(P'\)，我们通过增加新边/替换最后一条边得到权值略大的集合 \(P''\)
增加新边相当于我们要找到最小的一条以 \(P'\) 中最后一条边的终点到 \(t\) 的链上的一个点为起点的非树边
替换边相当于我们要找到次小的一条以 \(P'\) 中倒数第二条边的终点到 \(t\) 的链上的一个点为起点的非树边
我们考虑维护堆 \(H(x)\)，储存点 \(x\) 到 \(t\) 的链上的点为起点的非树边
显然我们不能暴力维护它，复杂度将达到 \(O(nmlogm)\)
发现 \(H(x)\) 和 \(H(fa_x)\) 有大量重合，我们维护一个可持久化堆即可，复杂度 \(O(mlogm)\)
显然，上面提到的操作当我们维护出 \(H(x)\) 就已经迎刃而解了
总复杂度 \(O(nlogn+mlogm+klogk)\)
通过斐波那契堆优化最短路+维护堆套堆可以做到 \(O(nlogn+m+klogk)\)
