虚树学习笔记

虚树

将树上某些关键点拿出来，保持一定祖先关系形成的树

性质

1. \(k\) 个关键点构成的虚树大小上线为 \(2k-1\)，在 虚树形态为一颗完全二叉树时实现
2. 虚树上节点集合为按 dfs 序排序后相邻节点的 \(\operatorname{lca}\) 所构成的集合与关键点集合的并集

构建

不妨设 dfs 序先左后右

考虑按 dfs 序排序后增量构建与虚树的最右链

最右链：当前加入的最后一个点到虚树根的一条链（当前虚树最右端的链）

具体实现用栈来

当加入一个新点时，与最右链上的点进行比对，加入虚树

讨论加入新点 \(x\) 的情况，设 \(y=\operatorname{lca}(x,st_{top})\)

1. 点 \(x\) 在 \(st_{top}\) 的子树里

   在最右链中加入 \(x\) 即可

2. 点 \(x\) 不在 \(st_{top}\) 的子树里且在 \(st_{top-1}\) 的子树里且 \(y\) 不为 \(st_{top-1}\)

   此时 \(y\) 在 \(st_{top}\) 到 \(st_{top-1}\) 的路径上

   更新最右链（\(st_{top-1}\to st_{top}\) 变为 \(st_{top-1}\rightarrow y\rightarrow x\) ），并将 \(st_{top-1}\to st_{top}\) 加入虚树边集

3. 点 \(x\) 不在 \(st_{top}\) 的子树里且在 \(st_{top-1}\) 的子树里且 \(y\) 为 \(st_{top-1}\)

   更新最右链（\(st_{top-1}\rightarrow st_{top}\) 变为 \(st_{top-1}\to x\)），并将 \(st_{top-1}\to st_{top}\) 加入虚树边集

4. 点 \(x\) 不在 \(st_{top-1}\) 的路径里

   根据 \(y\) 所在位置退栈更新最右链直至变为Case 1/2/3

代码实现

int tp=0,len=0;
int st[maxn],b[maxn];
void ins(int x){
	if(tp==0){st[++tp]=x;b[++len]=x;return ;}
	int p=lca(st[tp],x);
	while(dep[st[tp-1]]>dep[p])add(st[tp-1],st[tp]),tp--;
	if(st[tp]!=p){
		if(st[tp-1]==p){add(st[tp-1],st[tp],0);tp--;}
		else{add(p,st[tp]);b[++len]=p;st[tp]=p;}
	}
	st[++tp]=x;b[++len]=x;
	return ;
}