三/四元环计数

三/四元环计数

对于一个 $n$ 个点，$m$ 条边的无向图

我们可以在 $O(m\sqrt m)$ 的复杂度内计算出该图的三/四元环个数

三元环

记 $d_x$ 表示原图中点 $x$ 的度数

考虑将无向图转为有向图

对于一边 $(u,v)$ 且 $u<v$

1. 若 $d_u\geq d_v$ 则 $u\to v$
2. 若 $d_u<d_v$ 则 $v\to u$

我们可以证明连出的新图为一个有向无环图

若存在环 $(a_0,a_1,...,a_k)$

则 $d_{a_0}\geq d_{a_1}\geq d_{a_2}...\geq d_{a_k}\geq d_{a_0}$

故 $d_{a_0}=d_{a_1}=...=d_{a_k}$

所以 $a_0<a_1<a_2<...<a_k<a_0$，矛盾

显然原图中的三元环 $(u,v,w)$ 在新图中的表现形式一定为 $u\to v,u\to w,v\to w$

我们考虑在 $u$ 点处计数

枚举 $u$，给 $u$ 在新图上可一步到达的点打标记，再枚举点 $v$，枚举 $w$ 判断是否被 $u$ 标记过

计数即可

考虑将枚举 $w$ 的复杂度记在边 $u\to v$ 上，为 $out_v:v的出度$

总复杂度为$\sum_{(u,v)\in E}out_v+\sum_{u}out_u$

1. 若 $out_v\leq \sqrt m$ ，复杂度 $O(m\sqrt m)$
2. 若 $out_v>\sqrt m$，又 $out_u>\sqrt m$，总共仅有 $m$ 条边，这样的 $(u,v)$ 仅有 $O(\sqrt m)$ 个，复杂度 $O(m\sqrt m)$

四元环

同样考虑按三元环的方法建出新图

显然一个四元环在新图中至少有一个度数为2的点，至多2个这样的点，我们保证在度数最大的那个点计数即可

考虑一个四元环 $(u,v,w,x)$，我们分成 $u-v\to w,u-x\to w$ 两条链计算

枚举 $u$ ，枚举原图的边以枚举 $v$ ，再枚举 $w,(d_u>d_w \space or \space u<w)$

答案算上 $w$ 点上的标记，并在 $w$ 上多打一个来自 $v$ 的tag

复杂度为 $O(\sum_{(v,w)\in E}edge_v+\sum_{w}in_w)$

类似讨论，可得到复杂度为 $O(m\sqrt m)$