border与period学习笔记
border与period
起因是觉得自己对border这一套理论完全不会，来学一手
符号定义
以下默认 \(s\) 为一个字符串
\(s[i]\) 表示字符串 \(s\) 下标为 \(i\) 的字符
\(s[i,j]\) 表示字符串 \(s\) 下标位于 \([i,j]\) 的子串
\(pre(s,x)\) 表示字符串 \(s\) 长度为 \(x\) 的前缀
\(suf(s,x)\) 表示字符串 \(s\) 长度为 \(x\) 的后缀
定义
若 \(0\leq r<|s|,pre(s,r)=suf(s,r)\)，则称 \(r\) 为 \(s\) 的一个 \(\text{border}\)
若 \(0<p\leq |s|,s[i]=s[i+p],\forall i\in[1,|s|-p]\)，则称 \(p\) 为 \(s\) 的一个 \(\text{period}\)（周期）
记最小周期为 \(per(s)\)
显然，\(r\) 为 \(\text{border}\) \(\iff\) \(|s|-r\) 为 \(\text{period}\)
引理
\(\text{Weak Periodicity Lemma}\)
若 \(p\) 和 \(q\) 是 \(s\) 的周期，\(p+q\leq |s|\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也为 \(s\) 的周期
证明：
不妨设 \(p<q\)，记 \(d=q-p\)
由于 \(p+q\leq |s|\)，对于 \(\forall i\in[1,|s|-d]\)，\(i-p\geq 1\or i+q\leq |s|\) 一定成立
若前者成立，\(s_i=s_{i-p}=s_{i-p+q}=s_{i+d}\)
若后者成立，\(s_i=s_{i+q}=s_{i+q-p}=s_{i+d}\)
故 \(d\) 为 \(s\) 的周期
不难发现这能形成一个辗转相减的过程，最终能得到 \(\gcd(p,q)\) 为 \(s\) 的周期
\(\text{Periodicity Lemma}\)
若 \(p\) 和 \(q\) 是 \(s\) 的周期，\(p+q-\gcd(p,q)\leq |s|\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也为 \(s\) 的周期
字符串匹配
众所周知，字符串匹配问题由KMP算法解决
引理：若字符串 \(s,t\) 满足 \(|s|\geq \dfrac{|v|}{2}\)，则 \(s\) 在 \(t\) 中所有匹配位置构成一个等差数列，公差为 \(per(s)\)
证明：
我们仅考虑匹配次数大于2的情况，否则显然为等差数列
由于 \(2|s|\geq |v|\)，所以任意两次匹配间必有交点，任意两次匹配位置之差为 \(s\) 的一个 \(\text{period}\)
考虑取出第一二次匹配 \(u_1,u_2\)，与某次匹配 \(u_x\)
记\(u_1\) 与 \(u_2\) 匹配位置之差为 \(d\)，\(u_2\) 与 \(u_x\) 的位置差为 \(q\)
易得 \(d,q\) 为 \(s\) 的 \(\text{period}\)，由 \(\text{Weak Periodicity Lemma}\)，可知 \(g=\gcd(d,q)\) 也为一个周期
设 \(s\) 的最小周期 \(p\leq g\leq q\leq |u_1\cap u_2|\)，故 \(p\) 为 \(u_1\cap u_2\) 的周期，可得 \(p\) 为 \(u_1\cup u_2\) 的周期
若 \(p<d\) 则 \(u_2\) 左移 \(p\) 产生匹配，故 \(p\geq d\)，又 \(p\leq g=\gcd(d,q)\leq d\)，所以 \(p=d\)
则 \(d|q\)，故结论成立，公差为 \(per(s)\)（含3次匹配以上）
\(\text{border}\) 的结构
引理：字符串 \(s\) 所有不小于 \(\dfrac{|s|}{2}\) 的 \(\text{border}\) 构成一个等差数列
证明：
记 \(s\) 最大的 \(\text{border}\) 为 \(n-p,(p\leq \dfrac{|s|}{2})\)，另外某个 \(\text{border}\) 为 \(n-q,(q\leq \dfrac{|s|}{2})\)
由于 \(p,q\) 为 \(\text{period}\)，由于 \(\text{Weak Periodicity Lemma}\) 引理，\(\gcd(p,q)\) 为 \(\text{period}\)
则 \(n-\gcd(p,q)\) 为 \(s\) 的一个 \(\text{border}\)，又 \(\gcd(p,q)\leq p\)，且 \(n-p\) 为最大的 \(\text{border}\)
故 \(\gcd(p,q)=p\)，所以 \(p|q\)
故字符串 \(s\) 所有不小于 \(\dfrac{|s|}{2}\) 的 \(\text{border}\) 构成一个等差数列，公差为 \(p\)（最小 \(\text{period}\) ）
推论：字符串 \(s\) 的所有 \(\text{border}\) 长度排序后可分成 \(O(\log|s|)\) 段, 每段是一个等差数列。
将 \(s\) 的 \(\text{border}\) 按长度 \(x\) 分成 \(\log|s|\) 类，记 \(2^k\) 为最大不超过 \(n\) 的 \(2\) 的次幂
\(x\in[1,2),[2,4),\dots,[2^{k-1},2^k),[2^k,n)\)
对于 \(x\in[2^k,n)\)，显然 \(2^k\geq\dfrac{n}{2}\)，根据引理该段构成一个等差数列
对于 \(x\in[2^{i-1},2^i)\)，考虑证明其也是一个等差数列
对于长度相等的两个字符串 \(u,v\)，记 \(PS(u,v)=\{k|pre(u,k)=suf(v,k)\}\)
记 \(LargePS(u,v)=\{k\in PS(u,v)|k\geq\dfrac{|u|}{2}\}\)
那么 \(x\in[2^{i-1},2^i)\) 的 \(\text{border}\) 集合为 \(LargePS(pre(s,2^i),suf(s,2^i))\)
类似引理的证明，容易得到 \(LargePS(u,v)\) 构成一个等差数列
故结论得证
子串周期查询
给定字符串 \(s[1,n]\)，每次询问子串 \(t=s[l,r]\) 的所有周期，用 \(O(\log n)\) 个等差数列表示
求出所有 \(\text{border}\) 即可
按 \(\text{border}\) 的结构划分
-
\(\text{border}\) \(x\in[2^{i-1},2^i)\)
若 \(u\in LargePS(pre(t,2^i),suf(t,2^i))\)，则 \(pre(t,2^{i-1})\) 为其前缀，\(suf(t,2^{i-1})\) 为其后缀
我们仅需求出 \(pre(t,2^{i-1})\) 在 \(suf(t,2^i)\) 中匹配的开头位置集合与 \(suf(t,2^{i-1})\) 在 \(pre(t,2^i)\) 中匹配的结尾位置集合翻转后取交
由于前面字符串匹配的结论，我们所求的匹配位置成一个等差数列
考虑仅需求出第一二次和最后一次的匹配位置，我们就能算出等差数列的首项、公差和末项
实现 \(succ(v,i),pred(v,i)\) 表示 \(v\) 从 \(i\) 开始向前后的第一次匹配位置即可
由于 \(v\) 的长度为 \(2\) 的次幂，考虑同后缀数组一半倍增，每次将数组记录下来，空间 \(O(n\log n)\)
用 \(succ/pred\) 时二分即可得
值得一提的是，上面求 \(succ/pred\) 的算法被称为 \(\text{Internal Pattern Matching}\)
如何对等差数列取交？
存在引理证明若所求两个等差数列长度都不少于3，则他们的公差相等，容易 \(O(1)\) 求交
否则枚举小长度即可，复杂度 \(O(1)\)
-
\(\text{border}\) \(x\in[2^k,|t|)\)
考虑将情况1的 \(2^i\) 改为 \(|t|\)，仍然成立
目前为止，我们已经得到了时间 \(O(n\log n)-O(\log^2 n)\)，空间 \(O(n\log n)\) 的做法
\(O(n\log n)-O(\log^2 n)\) 的做法暂时不大会（
