Mesure Theory 初味（一）

    顾名思义，这门课是研究测度（measure）的。测度是什么？测度是由长度，面积这样的几何概念延伸而来。通俗的说，它是一种用来度量集合大小的测量工具。在实变函数中，我们研究的是具体的全集oegma为R^n上的集合的测度，即Lebesgue测度。但是在实际中，全集omega可能是抽象的，所以就有需要建立测度论这样一门抽象的学科，总结归纳各种具体的、抽象的测度、其上的空间以及空间之间的映射。

 

      测度是一个集函数。如果将之比作一台加工的机器，它吃进去的是集合，吐出来的是数。要研究一个函数，首先必须要做的一件事就是看看它的定义域是什么样的，具有哪些性质。测度也不例外，所以开篇名义第一章就是测度这个集函数的定义域———集类。集类是由全集Omega的子集所组成的，俗话称"集合的集合"

 

      下面就要讨论集类中的元素应该具有的性质。 为了引出我所要阐述的，先叉开谈一谈概率论里面概率的一条性质——可数可加性。在概率论中，对于可数个互不相交的事件，它们各自的概率加在一起是等于他们之并的概率。事实上，概率的这一条性质反应的是测度最为本质的特征：具有sigma可加性。从直观上理解这一条并不难：假设一个物体是由可列多个不相交的小段组成的。如果你可以一个一个地分别量出这些小段的长度，那么从常理上来说，你当然是可以从整体上测出这个物体的长度。并且你从整体上测量得到的结果，和你将这些小段的长度加在一起得到的长度，应该是一样的。也就是说一个“正常的”、"合理的"测度时，不会因为你测量方式的不同，而产生任何测量结果的差异.

 

      测度要具有sigma可加性，集类是不是也应该满足一些条件？至少集类里面可列个元素的并还应该被包含在集类里面，即集类对于可列并具有封闭性。同样的道理，如果你可以测量一个物体的长度，你是不是也应该可以测量这个物体的之外的部分的长度？所以集类对于补运算封闭。最后，还需要满足的是全集Omega在你可测量的范围之内。

  所以，一个集类要作为测度的定义域要满足三条：（1）包含全集Omega （2）对于补运算封闭 （3）对于可列并运算封闭。满足这些条件的集类成为sigma域。但是sigma域的构造实属不易，所以我们采取的做法是分两步进行构造，先生成一个满足较弱条件（有限可加性）的集类，在此基础上再加强条件从而得到我们需要的sigma域。通常的做法有两种，第一种是在Pi系的基础上生成最小lamda系，另一种是在半集代数上得到集代数，再生成最小单调类。这两种方法都可以得到sigma域，用公式表达就是：(等号不是严格意义的)

                                                   Pi系+lamda系=sigma域

                                                   集代数+单调类=sigma域

上述两个式子就是测度论中论证最有力量的定理，单调类定理（pi-lamda方法）。

 

      随着定义域集类的延拓，测度也存在着对应的扩张，称之为测度扩张定理。该定理的意义在于保证了一个在半集代数中定义的测度可以唯一的扩张到这个半集代数生成的最小sigma代数上。但是如何去构造sigama域上的测度呢?

首先从最基础的半集代数上的测度谈起。在很多情况下，半集代数上的测度的定义是非常显然的。例如R^n中左开右闭区间的全体，构成了R^n上的一个半集代数，其上的测度等于区间的长度。然而当集类从半集代数拓广到sigma域上的时候，测度的定义就很抽象了。因为sigma域本身是一个非常复杂的集类，其中构成的元素本身就不是很清楚，只有在极少数情况下才可以用显式表达。所以一个sigma域上测度的定义，只能通过半集代数上具体的测度进行逼近。也就是说对于一个sigma域中的集合A，可以找到一列半集代数中可以测量的集合{An}去从外围逼近它。如果逼近足够精确的话，那么{An}的测度之和应该是对于A的测度一个很好的估计。穷举所有这样的{An}集合列，取{An}之和的下确界就得到了严格意义上sigma代数中的测度定义。至此可以完全理解实变函数中外测度的定义是如何引出的了。

 

      但是，照理说这样定义得到的的测度是可以定义全集Sigma上任意子集的测度的，而不仅仅局限于sigma域上的集合。但是问题发生了，那就是存在着某些集合是不可测的，也就是说这些集合从不同的角度，可以得到不同的测度。这是一个很棘手的问题，数学家想了很多年，最后的解决方案是从Omega的所有子集中挑选出一部分可测的集合。挑选的准则是鼎鼎大名的Caratheodory条件。非常巧妙的是这些挑选出来的集类恰恰就是一个sigma域！所以一个sigma域之上的测度就这样被定义出来了。

 

      至此，我们已经搞清了全集omega，集类（sigma域），测度的概念，三者放在一起，就构成了一个平时说的测度空间。

上面是第一章集类与测度的内容。

 

2011.11.11