线性代数题解

前言

写完了这道题我好想刚明白一点最小割？？？UU好闪，拜谢UU。

题解

首先，我们可以发现若第 $i$ 行的 $B$ 没选，那么第 $i$ 列的 $B$ 也不选，所以此时对于行和列是等价的。

若 $A_i$ 是 $0$，则会减少贡献 $\sum _j{B}_{i,j}$。否则会减少贡献 $C_i$。当 $A_i$ 是 $0$ 但 $A_j$ 是 $1$ 的时候，我们会减少贡献 $B_{j,i}$ 的贡献。所以就可以建模了。

如下图

其中位于 $S$ 区域的行和列表示 $A$ 为 $1$，会选上；$T$ 区域的行和列表示 $A$ 为 $0$，不会选上。

主要的精华是：最小割所割出的容量是当前不同的点属于 $S,T$ 集合状态下我们的花费。图中的最大流只在求最小割的时候用到了，没有实际的意义。我们在总的价值减去最小割便是最大的贡献。