扩展中国剩余定理(EXCRT)
扩展中国剩余定理(EXCRT)
中国剩余定理(CRT)能解决模数互质情况的模线性同余方程组。这是中国剩余定理的原理所决定的。
但当我们的模数不互质时，这个方式显然就寄掉了，因此我们要打破原有的思路，去找一个新的方式解不定方程组，这时我们的扩展中国剩余定理（EXCRT）就出现了
假设我们现在有如下不定方程组
我们用扩展中国剩余定理(EXCRT)最重要的任务就是合并方程 (究竟是什么神在出这种鬼畜的解题方式啊！！！正常人能想到合并方程？？？也许是我太弱了了叭QAQ)
显然我们可以得到 $ x = m_1k_1 + r_1 = m_2k_2 + r_2$ ---------- \((1)\)
则我们移项可得 $ m_1k_1 + m_2k_2 = r_2 - r_1$ ---------- \((2)\)
这里我们 \(m_2k_2\) 的系数变为正，是因为 \(k_2\) 是任意整数，所以前面的系数不会影响整个式子）
我们已知式子 \(m_1p_1 + m_2p_2 = \gcd(m_1,m_2)\) 将 \(d\) 设为 $ \gcd(m_1,m_2) $ 。
根据裴蜀定理，此时我们要进行判断，判断 \(r_2-r_1\) 是否为 \(\gcd(m_1,m_2)\) 的倍数，若是，那么有解，若不是，那么无解。
判断完是否有解后我们可以的到一个显然的式子 \(m_1p_1+m_2p_2+km_1m_2-km_1m_2=m_1p_1+m_2p_2=d=\gcd(m_1,m_2)\)（因为此时 \(k\) 没有任何限制，所以 \(k = \dfrac {p} {r_2-r_1}，p \in \mathbb{Z}\)）
此时最左边的式子我们可以化简为 \(m_1(p_1+km_2)+m_2(p_2-km_1)=d\)
由于我们要找到原式子的通解，所以此时我们将等式两边同乘 $ \dfrac {r_2-r_1}{\gcd(m_1,m_2)} $
则可以得到式子 \(m_1(\dfrac {p_1(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + \dfrac {km_2(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}) + m_2(\dfrac {p_2(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}- \dfrac {km_1(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}) = r_2-r_1\) ---------- \((3)\)
由上面的等式 \((2)\) 得可将 \((3)\) 式右面 \(r_2-r_1\) 的式子代换成 $ m_1k_1 + m_2k_2 $
从而得到的等式 $m_1(\dfrac {p_1(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + \dfrac {km_2(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}) + m_2(\dfrac {p_2(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}- \dfrac {km_1(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}) = m_1k_1 + m_2k_2 $
由此我们显然可以得到
消掉第一个式子中的 \(m_1\) 。则我们求得 \(k_1=p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + km_2 \dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\) ---------- \((4)\)
由于 \(k = \dfrac {p} {r_2-r_1}，p \in \mathbb{Z}\) ，因此我们可以使 $ k(r_2-r_1) = \dfrac {p} {r_2-r_1} \cdot (r_2-r_1) = p$ 由此系数化成 \(m_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}\) ,本项变成 \(pm_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}\)
则得到了\(k_1=p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + pm_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}\)
此时我们就求得了原式的一个通解 \(k_1\) 。因为如果直接将式子带入代码中很可能会溢出，所以我们要先将 \(k_1\) 的最小整数解求出。
而求最小正整数解的方法是先将 \(pm_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}\) 用模数 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 先模去成为 \(0\) ，并且同时将 \(p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\) 用 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 模。然后将式子加上模数 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 防止出现负数，最后再模上 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 将 \(p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\) 不是负数但是加上了模数 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 的情况模去。
k1 = k1 * (r2 - r1) / gcd;//求出式子里的前半部分
k1= (k1 % (m2 / gcd) + (m2 / gcd)) % (m2 / gcd);
//这里的k1要先模式为了防止出现负数的情况
然后我们将现在得到的等式 \((4)\) 带入等式 \((1)\) 则显然可以得到
从而得到最终的式子
我们此时显然是知道 \(m_1,m_2,r_1,r_2,p_1,\gcd(m_1,m_2)\) 的值，但我们不知道 \(p\) 的值，那么这时我们只要模上 \(p\) 的系数即可消掉 \(p\) 。即把模数变为 \(m_1m_2 \dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\)
此时我们就将两个不定方程组合并完成了
\(x \equiv p_1m_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + r_1 (mod \ \dfrac {m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)})\)
则此时新的不定方程的 \(r\) 为 \(p_1m_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + r_1\) , \(m\) 为 \(\dfrac {m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\)
所以此时的 \(p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)}\) 显然可以等价为 \(p_1\dfrac {(r_2-r_1)}{\gcd(m_1,m_2)} + pm_1m_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}(p \in \mathbb{Z})\) ---------- \((5)\)(此时有模 \(\dfrac {m_1m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\) 的条件在，因此我们加不加上 \(pm_1m_2 \dfrac {1}{\gcd(m_1,m_2)}\) 都不会对原式子的值产生影响) 。
因为我们先前求最优整数解的模数是 \(\dfrac {m_2}{\gcd(m_1,m_2)}\), 依然可以把这个式子 \((5)\) 模成我们先前求得最小正整数解 \(x\) ，可以直接乘上去
所以可表示为 \(r = m_1x + r_1\), \(m = \dfrac {m_1m_2} {\gcd(m_1,m_2)}\)
再继续往下合并
最后我们可以合并成唯一一个式子 \(x \equiv r(mod \ m)\)
则 \(x\) 的最小整数解为 $ x = ( r \ mod \ m + m ) \ mod \ m $
（ \(r \ mod \ m+m\) 中加 \(m\) 是为了防止出现 \(r\) 为负数的情况）
