扩展中国剩余定理(EXCRT)

中国剩余定理(CRT)能解决模数互质情况的模线性同余方程组。这是中国剩余定理的原理所决定的。

但当我们的模数不互质时，这个方式显然就寄掉了，因此我们要打破原有的思路，去找一个新的方式解不定方程组，这时我们的扩展中国剩余定理（EXCRT）就出现了

假设我们现在有如下不定方程组

{\begin{cases} x \equiv r_{1} (m o d m_{1}) \\ x \equiv r_{2} (m o d m_{2}) \\ x \equiv r_{3} (m o d m_{3}) \\ \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \end{cases}

我们用扩展中国剩余定理(EXCRT)最重要的任务就是合并方程 (究竟是什么神在出这种鬼畜的解题方式啊！！！正常人能想到合并方程？？？也许是我太弱了了叭QAQ)

显然我们可以得到 $x = m_{1} k_{1} + r_{1} = m_{2} k_{2} + r_{2}$ ---------- $(1)$

则我们移项可得 $m_{1} k_{1} + m_{2} k_{2} = r_{2} - r_{1}$ ---------- $(2)$

这里我们 $m_{2} k_{2}$ 的系数变为正，是因为 $k_{2}$ 是任意整数，所以前面的系数不会影响整个式子）

我们已知式子 $m_{1} p_{1} + m_{2} p_{2} = gcd (m_{1}, m_{2})$ 将 $d$ 设为 $gcd (m_{1}, m_{2})$ 。

根据裴蜀定理，此时我们要进行判断，判断 $r_{2} - r_{1}$ 是否为 $gcd (m_{1}, m_{2})$ 的倍数，若是，那么有解，若不是，那么无解。

判断完是否有解后我们可以的到一个显然的式子 $m_{1} p_{1} + m_{2} p_{2} + k m_{1} m_{2} - k m_{1} m_{2} = m_{1} p_{1} + m_{2} p_{2} = d = gcd (m_{1}, m_{2})$ （因为此时 $k$ 没有任何限制，所以 $k = \frac{p}{r_{2} - r_{1}} ， p \in Z$ ）

此时最左边的式子我们可以化简为 $m_{1} (p_{1} + k m_{2}) + m_{2} (p_{2} - k m_{1}) = d$

由于我们要找到原式子的通解，所以此时我们将等式两边同乘 $\frac{r_{2} - r_{1}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

则可以得到式子 $m_{1} (\frac{p_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + \frac{k m_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}) + m_{2} (\frac{p_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} - \frac{k m_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}) = r_{2} - r_{1}$ ---------- $(3)$

由上面的等式 $(2)$ 得可将 $(3)$ 式右面 $r_{2} - r_{1}$ 的式子代换成 $m_{1} k_{1} + m_{2} k_{2}$

从而得到的等式 $m_{1} (\frac{p_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + \frac{k m_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}) + m_{2} (\frac{p_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} - \frac{k m_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}) = m_{1} k_{1} + m_{2} k_{2}$

由此我们显然可以得到

m_{1} k_{1} = m_{1} (\frac{p_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + \frac{k m_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})})

m_{2} k_{2} = m_{2} (\frac{p_{2} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} - \frac{k m_{1} (r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})})

消掉第一个式子中的 $m_{1}$ 。则我们求得 $k_{1} = p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + k m_{2} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ ---------- $(4)$

由于 $k = \frac{p}{r_{2} - r_{1}} ， p \in Z$ ，因此我们可以使 $k (r_{2} - r_{1}) = \frac{p}{r_{2} - r_{1}} \cdot (r_{2} - r_{1}) = p$ 由此系数化成 $m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ ,本项变成 $p m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

则得到了 $k_{1} = p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + p m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

此时我们就求得了原式的一个通解 $k_{1}$ 。因为如果直接将式子带入代码中很可能会溢出，所以我们要先将 $k_{1}$ 的最小整数解求出。

而求最小正整数解的方法是先将 $p m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 用模数 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 先模去成为 $0$ ，并且同时将 $p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 用 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 模。然后将式子加上模数 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 防止出现负数，最后再模上 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 将 $p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 不是负数但是加上了模数 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 的情况模去。

 k1 = k1 * (r2 - r1) / gcd;//求出式子里的前半部分
k1= (k1 % (m2 / gcd) + (m2 / gcd)) % (m2 / gcd);
//这里的k1要先模式为了防止出现负数的情况

然后我们将现在得到的等式 $(4)$ 带入等式 $(1)$ 则显然可以得到

x = m_{1} (p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + p m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}) + r_{1}

从而得到最终的式子

x = p_{1} m_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + p m_{1} m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})} + r_{1}

我们此时显然是知道 $m_{1}, m_{2}, r_{1}, r_{2}, p_{1}, gcd (m_{1}, m_{2})$ 的值，但我们不知道 $p$ 的值，那么这时我们只要模上 $p$ 的系数即可消掉 $p$ 。即把模数变为 $m_{1} m_{2} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

此时我们就将两个不定方程组合并完成了

$x \equiv p_{1} m_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + r_{1} (m o d \frac{m_{1} m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})})$

则此时新的不定方程的 $r$ 为 $p_{1} m_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + r_{1}$ , $m$ 为 $\frac{m_{1} m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

所以此时的 $p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 显然可以等价为 $p_{1} \frac{(r_{2} - r_{1})}{gcd (m_{1}, m_{2})} + p m_{1} m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})} (p \in Z)$ ---------- $(5)$ (此时有模 $\frac{m_{1} m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 的条件在，因此我们加不加上 $p m_{1} m_{2} \frac{1}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ 都不会对原式子的值产生影响) 。

因为我们先前求最优整数解的模数是 $\frac{m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$ , 依然可以把这个式子 $(5)$ 模成我们先前求得最小正整数解 $x$ ，可以直接乘上去

所以可表示为 $r = m_{1} x + r_{1}$ , $m = \frac{m_{1} m_{2}}{gcd (m_{1}, m_{2})}$

再继续往下合并

最后我们可以合并成唯一一个式子 $x \equiv r (m o d m)$

则 $x$ 的最小整数解为 $x = (r m o d m + m) m o d m$

（ $r m o d m + m$ 中加 $m$ 是为了防止出现 $r$ 为负数的情况）

posted @ 2023-06-15 16:49 觉清风阅读(63) 评论(3) 编辑收藏举报

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	k1= (k1 % (m2 / gcd) + (m2 / gcd)) % (m2 / gcd);
	//这里的k1要先模式为了防止出现负数的情况

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