P4071 [SDOI2016]排列计数

[SDOI2016]排列计数

题目描述

求有多少种 \(1\) 到 \(n\) 的排列 \(a\)，满足序列恰好有 \(m\) 个位置 \(i\)，使得 \(a_i = i\)。

答案对 \(10^9 + 7\) 取模。

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

输入的第一行是一个整数 \(T\)，代表测试数据的整数。

以下 \(T\) 行，每行描述一组测试数据。

对于每组测试数据，每行输入两个整数，依次代表 \(n\) 和 \(m\)。

输出格式

共输出 \(T\) 行，对于每组测试数据，输出一行一个整数代表答案。

样例 #1

样例输入 #1

5
1 0
1 1
5 2
100 50
10000 5000

样例输出 #1

0
1
20
578028887
60695423

提示

数据规模与约定

本题共 20 个测试点，各测试点等分，其数据规模如下表。

测试点编号	\(T =\)	\(n, m \leq\)	测试点编号	\(T =\)	\(n, m \leq\)
\(1\sim 3\)	\(10^3\)	\(8\)	\(10 \sim 12\)	\(10^3\)	\(10^3\)
\(4 \sim 6\)	\(10^3\)	\(12\)	\(13 \sim 14\)	\(5 \times 10^5\)	\(10^3\)
\(7 \sim 9\)	\(10^3\)	\(100\)	\(15 \sim 20\)	\(5 \times 10^5\)	\(10^6\)
对于全部的测试点，保证 \(1 \leq T \leq 5 \times 10^5\)，\(1 \leq n \leq 10^6\)，\(0 \leq m \leq 10^6\)。

问题是要求有 \(m\) 个稳定的位置,我们可以转换成求 \(n-m\) 个不稳定的位置

则从 \(n\) 个数中找 \(n-m\) 个位置的式子是 \(C^{n - m}_n\)

而根据错排式子：若有 \(n\) 个位置，则 \(f(n) = (n - 1) * (f(n - 1) + f(n - 2))\)

则可以得到最终式子 \(c^{n-m}_n * f(n - m)\)

其中 \(c^{n-m}_n\) 和 \(f(n - m)\) 可以预处理得到

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const long long mod = 1e9 + 7; 
long long dp[5211314], n, m, t;
long long inv[5211314], f[5211314];

int main() {
	dp[0] = 1; 
	//注意dp[0]为1 
	dp[1] = 0;
	dp[2] = 1;
	f[0] = f[1] = inv[0] = inv[1] = 1;
	for (int i = 1; i <= 1000000; ++ i) {
		if (i != 1 && i != 2) dp[i] *= (i - 1);
		dp[i] %= mod; 
		dp[i + 1] += dp[i];
		dp[i + 1] %= mod;
		dp[i + 2] += dp[i];
		dp[i + 2] %= mod;
		if (i >= 2) {
			f[i] = f[i - 1] * i % mod;
			inv[i] = (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
		}
	}
	for (int i = 2; i <= 1000000; ++ i) {
		inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mod;
	} 
	scanf("%lld", &t);
	while (t --) {
		scanf("%lld%lld", &n, &m);
		printf("%lld\n", (((f[n] * inv[n - m] % mod) * inv[m] % mod) * dp[n - m] % mod));
	}
	return 0; 
}