Luogu P4159 [SCOI2009] 迷路

[SCOI2009] 迷路

题目背景

windy 在有向图中迷路了。

题目描述

该有向图有 \(n\) 个节点，节点从 \(1\) 至 \(n\) 编号，windy 从节点 \(1\) 出发，他必须恰好在 \(t\) 时刻到达节点 \(n\)。

现在给出该有向图，你能告诉 windy 总共有多少种不同的路径吗？

答案对 \(2009\) 取模。

注意：windy 不能在某个节点逗留，且通过某有向边的时间严格为给定的时间。

输入格式

第一行包含两个整数，分别代表 \(n\) 和 \(t\)。

第 \(2\) 到第 \((n + 1)\) 行，每行一个长度为 \(n\) 的字符串，第 \((i + 1)\) 行的第 \(j\) 个字符 \(c_{i, j}\) 是一个数字字符，若为 \(0\)，则代表节点 \(i\) 到节点 \(j\) 无边，否则代表节点 \(i\) 到节点 \(j\) 的边的长度为 \(c_{i, j}\)。

输出格式

输出一行一个整数代表答案对 \(2009\) 取模的结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 2
11
00

样例输出 #1

1

样例 #2

样例输入 #2

5 30
12045
07105
47805
12024
12345

样例输出 #2

852

提示

样例输入输出 1 解释

路径为 \(1 \to 1 \to 2\)。

数据规模与约定

• 对于 \(30\%\) 的数据，保证 \(n \leq 5\)，\(t \leq 30\)。
• 对于 \(100\%\) 的数据，保证 \(2 \leq n \leq 10\)，\(1 \leq t \leq 10^9\)。

//思路来自https://www.luogu.com.cn/blog/user38725/solution-p4159 
//发现边权只有1~9，所以我们可以暴力把一个点拆成9个点并按顺序连上
//然后一条边权为k的边就是从起点拆出的第k个点到终点拆出的第一个点连边
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

const int mod = 2009;
int n, t, num[521][13];
char ch[521];

struct Matrix {
	int matrix[114][514];
}ask;

Matrix operator * (const Matrix &a, const Matrix &b) {
	Matrix c;
	for (int i = 1; i <= n * 9; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n * 9; ++ j) {
			c.matrix[i][j] = 0;
			for (int q = 1; q <= n * 9; ++ q) {
				c.matrix[i][j] += (a.matrix[i][q] * b.matrix[q][j]);
				c.matrix[i][j] %= mod;
			}
		}
	}
	return c;//矩阵乘 
}

Matrix MatrixQuickPower(Matrix a,int k) {
	Matrix ans, base = a;
	for (int i = 1; i <= n * 9; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= n * 9; ++ j) {
			if (i == j) ans.matrix[i][j] = 1;
			else ans.matrix[i][j] = 0;
		}
	}
	while (k > 0) {
		if (k & 1 == 1) {
			ans = ans * base;
		}
		base = base * base;
		k >>= 1;
	}
	return ans;
	//矩阵快速幂 
}

int main() {
	cin >> n >> t;
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		for (int j = 1; j <= 8; ++ j) {
			ask.matrix[9 * (i - 1) + j][9 *	(i - 1) + j + 1] = 1;
			//将一个点内的每个点顺序连上 
		}
	}
	for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
		scanf("%s", ch + 1);
		for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
			if (ch[j] > '0') {
				ask.matrix[9 * (i - 1) + ch[j] - '0'][9 * (j - 1) + 1] = 1;
				//把第i个点内的第k个点与第j个点的起始点连上 
			}
		}
	}
	Matrix ans = MatrixQuickPower(ask, t);
	//题目问的是从点1到点n的路径数 
	cout << (ans.matrix[1][n * 9 - 8]) % mod << endl;
	return 0;
}