Luogu P1939 【模板】矩阵加速（数列）

【模板】矩阵加速（数列）

题目描述

已知一个数列 \(a\)，它满足：

\[a_x= \begin{cases} 1 & x \in\{1,2,3\}\\ a_{x-1}+a_{x-3} & x \geq 4 \end{cases} \]

求 \(a\) 数列的第 \(n\) 项对 \(10^9+7\) 取余的值。

输入格式

第一行一个整数 \(T\)，表示询问个数。

以下 \(T\) 行，每行一个正整数 \(n\)。

输出格式

每行输出一个非负整数表示答案。

样例 #1

样例输入 #1

3
6
8
10

样例输出 #1

4
9
19

提示

• 对于 \(30\%\) 的数据 \(n \leq 100\)；
• 对于 \(60\%\) 的数据 \(n \leq2 \times 10^7\)；
• 对于 \(100\%\) 的数据 \(1 \leq T \leq 100\)，\(1 \leq n \leq 2 \times 10^9\)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>

using namespace std;

long long n, m;

struct Matrix {
	long long matrix[521][13];
}base, ask;

Matrix operator*(const Matrix &a, const Matrix &b) {
	Matrix ans;
	for (long long i = 1; i <= 3; ++ i) {
		for (long long j = 1; j <= 3; ++ j) {
			ans.matrix[i][j] = 0;
		}
	}
	for (long long i = 1; i <= 3; ++ i) {
		for (long long j = 1; j <= 3; ++ j) {
			for (long long q = 1; q <= 3; ++ q) {
				ans.matrix[i][j] += a.matrix[i][q] * b.matrix[q][j];
				ans.matrix[i][j] %= m;
			}
		}
	}
	return ans;
}

Matrix MatrixQuickPower(Matrix a, long long k) {
	Matrix ans;
	Matrix temp = a;
	for (long long i = 1; i <= 3; ++ i) {
		for (long long j = 1; j <= 3; ++ j) {
			if (i == j) ans.matrix[i][j] = 1;
			else ans.matrix[i][j] = 0;
		}
	}
	while (k > 0) {
		if (k & 1 == 1) {
			ans = ans * temp;
		}
		temp = temp * temp; 
		k >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main() {
	int t;
	cin >> t;
	while (t --) {
		cin >> n;
		m = 1000000000 + 7;
		if (n <= 3) {
			cout << 1 << endl;
			continue;
		}
		for (long long i = 1; i <= 3; i ++) {
			for (long long j = 1; j <= 3; ++ j) {
				base.matrix[i][j] = 0;
			}
		}
		base.matrix[1][1] = base.matrix[3][1] = base.matrix[1][2] = base.matrix[2][3] = 1;
		base = MatrixQuickPower(base, n - 3);
		cout << (base.matrix[1][1] + base.matrix[2][1] + base.matrix[3][1]) % m << endl;
	}
	
	return 0;
}