Luogu P3390 【模板】矩阵快速幂

【模板】矩阵快速幂

题目背景

一个 \(m \times n\) 的矩阵是一个由 \(m\) 行 \(n\) 列元素排列成的矩形阵列。即形如

\[A = \begin{bmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} \end{bmatrix} \text{.} \]

本题中认为矩阵中的元素 \(a_{i j}\) 是整数。

两个大小分别为 \(m \times n\) 和 \(n \times p\) 的矩阵 \(A, B\) 相乘的结果为一个大小为 \(m \times p\) 的矩阵。将结果矩阵记作 \(C\)，则

\[c_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} a_{i k} b_{k j} \text{,\qquad($1 \le i \le m$, $1 \le j \le p$).} \]

而如果 \(A\) 的列数与 \(B\) 的行数不相等，则无法进行乘法。

可以验证，矩阵乘法满足结合律，即 \((A B) C = A (B C)\)。

一个大小为 \(n \times n\) 的矩阵 \(A\) 可以与自身进行乘法，得到的仍是大小为 \(n \times n\) 的矩阵，记作 \(A^2 = A \times A\)。进一步地，还可以递归地定义任意高次方 \(A^k = A \times A^{k - 1}\)，或称 \(A^k = \underbrace{A \times A \times \cdots \times A}_{k \text{ 次}}\)。

特殊地，定义 \(A^0\) 为单位矩阵 \(I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}\)。

题目描述

给定 \(n\times n\) 的矩阵 \(A\)，求 \(A^k\)。

输入格式

第一行两个整数 \(n,k\)。
接下来 \(n\) 行，每行 \(n\) 个整数，第 \(i\) 行的第 \(j\) 的数表示 \(A_{i,j}\)。

输出格式

输出 \(A^k\)

共 \(n\) 行，每行 \(n\) 个数，第 \(i\) 行第 \(j\) 个数表示 \((A^k)_{i,j}\)，每个元素对 \(10^9+7\) 取模。

样例 #1

样例输入 #1

2 1
1 1
1 1

样例输出 #1

1 1
1 1

提示

【数据范围】

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n \le 100\)，\(0 \le k \le 10^{12}\)，\(|A_{i,j}| \le 1000\)。

``cpp

include

include

include

include

include

define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

using namespace std;

int n, k;

struct Matrix {
int matrix[103][104];
}A;

Matrix Product(Matrix b, Matrix c) {
Matrix a;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
a.matrix[i][j] = 0;
for (int t = 1; t <= n; ++ t) {
a.matrix[i][j] += b.matrix[i][t] * c.matrix[t][j];
a.matrix[i][j] %= mod;
}
}
}
return a;
}

Matrix MatrixQuickPower(Matrix ask) {
Matrix ans;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
if (i == j) ans.matrix[i][j] = 1;
else ans.matrix[i][j] = 0;
}
}
Matrix base = ask;
while (k > 0) {
if (k & 1 == 1) {
ans = Product(ans, base);
}
base = Product(base, base);
k >>= 1;
}
return ans;
}

signed main() {
cin >> n >> k;

for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
		cin >> A.matrix[i][j];
	}
}
A = MatrixQuickPower(A);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
		cout << A.matrix[i][j] << " ";
	}
	cout << endl;
}

}