Luogu P3390 【模板】矩阵快速幂

【模板】矩阵快速幂

题目背景

一个 $m\times n$ 的矩阵是一个由 $m$ 行 $n$ 列元素排列成的矩形阵列。即形如

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right]\text{.}$$

本题中认为矩阵中的元素 $a_{ij}$ 是整数。

两个大小分别为 $m\times n$ 和 $n\times p$ 的矩阵 $A,B$ 相乘的结果为一个大小为 $m\times p$ 的矩阵。将结果矩阵记作 $C$，则

$$c_{ij}=\sum _{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}\text{,qquad(}1\le i\le m\text{, }1\le j\le p\text{).}$$

而如果 $A$ 的列数与 $B$ 的行数不相等，则无法进行乘法。

可以验证，矩阵乘法满足结合律，即 $(AB)C=A(BC)$。

一个大小为 $n\times n$ 的矩阵 $A$ 可以与自身进行乘法，得到的仍是大小为 $n\times n$ 的矩阵，记作 $A^2=A\times A$。进一步地，还可以递归地定义任意高次方 $A^k=A\times A^{k-1}$，或称 $A^k=\underset{k\text{ 次}}{\underbrace{A\times A\times \cdots \times A}}$。

特殊地，定义 $A^0$ 为单位矩阵 $I=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right]$。

题目描述

给定 $n\times n$ 的矩阵 $A$，求 $A^k$。

输入格式

第一行两个整数 $n,k$。
接下来 $n$ 行，每行 $n$ 个整数，第 $i$ 行的第 $j$ 的数表示 $A_{i,j}$。

输出格式

输出 $A^k$

共 $n$ 行，每行 $n$ 个数，第 $i$ 行第 $j$ 个数表示 $(A^k{)}_{i,j}$，每个元素对 ${10}^9+7$ 取模。

样例 #1

样例输入 #1

2 1
1 1
1 1

样例输出 #1

1 1
1 1

提示

【数据范围】

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，$1\le n\le 100$，$0\le k\le {10}^{12}$，$|A_{i,j}|\le 1000$。

``cpp

include

include

include

include

include

define int long long

const int mod = 1e9 + 7;

using namespace std;

int n, k;

struct Matrix {
int matrix[103][104];
}A;

Matrix Product(Matrix b, Matrix c) {
Matrix a;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
a.matrix[i][j] = 0;
for (int t = 1; t <= n; ++ t) {
a.matrix[i][j] += b.matrix[i][t] * c.matrix[t][j];
a.matrix[i][j] %= mod;
}
}
}
return a;
}

Matrix MatrixQuickPower(Matrix ask) {
Matrix ans;
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
if (i == j) ans.matrix[i][j] = 1;
else ans.matrix[i][j] = 0;
}
}
Matrix base = ask;
while (k > 0) {
if (k & 1 == 1) {
ans = Product(ans, base);
}
base = Product(base, base);
k >>= 1;
}
return ans;
}

signed main() {
cin >> n >> k;

for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
		cin >> A.matrix[i][j];
	}
}
A = MatrixQuickPower(A);
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	for (int j = 1; j <= n; ++ j) {
		cout << A.matrix[i][j] << " ";
	}
	cout << endl;
}

}