Luogu P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子
[国家集训队] 小 Z 的袜子
题目描述
upd on 2020.6.10 :更新了时限。
作为一个生活散漫的人,小 Z 每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小 Z 再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……
具体来说,小 Z 把这 \(N\) 只袜子从 \(1\) 到 \(N\) 编号,然后从编号 \(L\) 到 \(R\) (\(L\) 尽管小 Z 并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小 Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小 Z 希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个 \((L,R)\) 以方便自己选择。
然而数据中有 \(L=R\) 的情况,请特判这种情况,输出0/1
。
输入格式
输入文件第一行包含两个正整数 \(N\) 和 \(M\)。\(N\) 为袜子的数量,\(M\) 为小 Z 所提的询问的数量。接下来一行包含 \(N\) 个正整数 \(C_i\),其中 \(C_i\) 表示第 \(i\) 只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来 \(M\) 行,每行两个正整数 \(L, R\) 表示一个询问。
输出格式
包含 \(M\) 行,对于每个询问在一行中输出分数 \(A/B\) 表示从该询问的区间 \([L,R]\) 中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为 \(0\) 则输出 0/1
,否则输出的 \(A/B\) 必须为最简分数。(详见样例)
样例 #1
样例输入 #1
6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
样例输出 #1
2/5
0/1
1/1
4/15
提示
\(30\%\) 的数据中,\(N,M\leq 5000\);
\(60\%\) 的数据中,\(N,M \leq 25000\);
\(100\%\) 的数据中,\(N,M \leq 50000\),\(1 \leq L < R \leq N\),\(C_i \leq N\)。
题解
可以全部用等差数列做。
\(C^2_n = (n - 1 + 1) * (n-1)/2\) (与问n个人两两握手有几种情况十分相似)此处的 \((n-1+1)\)中前面的 \(n-1\) 表示首项,后面的 \(1\) 表示尾项,而 $ * (n-1)$ 中的 \((n-1)\) 表示项数,具体情况如下(每个1表示1只袜子)
具体做法是每次插入一个颜色就对原先的分子和分母进行更新。也就是先减去这个原先颜色个数的等差数列,然后加上更新后后颜色个数的等差数列。
如原先的颜色个数是x个,那么原先这个颜色的所能选中的情况是 \((x-1 + 1) (x-1) / 2\) 个。而更新后数为 \(y(y=x+1)\) ,则更新后这个颜色可以选择(要加上)的次数为 \((y-1 + 1) (y-1) / 2\)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
long long n, m, block;
long long l = 1, r = 0;
long long a[5211314], pos[5211314], cnt[5211314], numerator, denominator;
//numerator分子 denominator分母
struct ASK {
long long l, r, id;
}ask[5211314];
struct ANS {
long long numerator, denominator;
//答案的分子 分母
}ans[5211314];
inline long long read() {
long long x = 0, f = 1;
char ch = getchar();
while (ch < '0' || ch > '9') {
if (ch == '-') f = -1;
ch = getchar();
}
while (ch >= '0' && ch <= '9') {
x = (x << 1) + (x << 3) + (ch - '0');
ch = getchar();
}
return x * f;
}
inline bool cmp(ASK a, ASK b) {
if (pos[a.l] != pos[b.l]) return pos[a.l] < pos[b.l];
else return a.r < b.r;
}
inline void Add(long long x) {
if (cnt[a[x]] >= 1) {
if (cnt[a[x]] != 1) numerator -= ((cnt[a[x]] - 1 + 1) * (cnt[a[x]] - 1) / 2);
//只有cnt[a[x]]不为1的时候才用减去原先颜色a[x]的选择数
numerator += ((cnt[a[x]] + 1) * (cnt[a[x]]) / 2);
}
cnt[a[x]] ++;
denominator ++;
return;
}
inline void Del(long long x) {
if (cnt[a[x]] >= 2) {
numerator -= ((cnt[a[x]] - 1 + 1) * (cnt[a[x]] - 1) / 2);
if (cnt[a[x]] != 2) numerator += ((cnt[a[x]] - 1 - 1 + 1) * (cnt[a[x]] - 1 - 1) / 2);
//只有cnt[a[x]]不为2(也就是减之后cnt[a[x]]不为1)的时候才用加新颜色a[x]的选择数
}
cnt[a[x]] --;
denominator --;
return;
}
int main() {
n = read();
m = read();
block = sqrt(n);
for (long long i = 1; i <= n; ++ i) {
a[i] = read();
pos[i] = (i - 1) / block + 1;
}
for (long long i = 1; i <= m; ++ i) {
ask[i].l = read();
ask[i].r = read();
ask[i].id = i;
}
stable_sort(ask + 1, ask + 1 + m, cmp);
for (long long i = 1, temp, temp2; i <= m; ++ i) {
while (ask[i].l < l) Add(-- l);
while (r < ask[i].r) Add(++ r);
while (l < ask[i].l) Del(l ++);
while (ask[i].r < r) Del(r --);
temp2 = (denominator - 1 + 1) * (denominator - 1) / 2;
//记得给分母等差数列
if (numerator != 0) {
temp = __gcd(numerator, temp2);//求最大公约数
ans[ask[i].id].numerator = numerator / temp;
}
else {//若分子为0
temp = temp2;
ans[ask[i].id].numerator = 0;
}
ans[ask[i].id].denominator = temp2 / temp;
}
for (long long i = 1; i <= m; ++ i) {
printf("%lld/%lld\n", ans[i].numerator, ans[i].denominator);
}
return 0;
}