P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
【模板】二元一次不定方程 (exgcd)
题目描述
给定不定方程
若该方程无整数解，输出 \(-1\)。
若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其正整数解的数量，所有正整数解中 \(x\) 的最小值，所有正整数解中 \(y\) 的最小值，所有正整数解中 \(x\) 的最大值，以及所有正整数解中 \(y\) 的最大值。
若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有整数解中 \(x\) 的最小正整数值， \(y\) 的最小正整数值。
正整数解即为 \(x, y\) 均为正整数的解，\(\boldsymbol{0}\) 不是正整数。
整数解即为 \(x,y\) 均为整数的解。
\(x\) 的最小正整数值即所有 \(x\) 为正整数的整数解中 \(x\) 的最小值，\(y\) 同理。
输入格式
第一行一个正整数 \(T\)，代表数据组数。
接下来 \(T\) 行，每行三个由空格隔开的正整数 \(a, b, c\)。
输出格式
\(T\) 行。
若该行对应的询问无整数解，一个数字 \(-1\)。
若该行对应的询问有整数解但无正整数解，包含 \(2\) 个由空格隔开的数字，依次代表整数解中，\(x\) 的最小正整数值，\(y\) 的最小正整数值。
否则包含 \(5\) 个由空格隔开的数字，依次代表正整数解的数量，正整数解中，\(x\) 的最小值，\(y\) 的最小值，\(x\) 的最大值，\(y\) 的最大值。
读入输出量较大，注意使用较快的读入输出方式
样例 #1
样例输入 #1
7
2 11 100
3 18 6
192 608 17
19 2 60817
11 45 14
19 19 810
98 76 5432
样例输出 #1
4 6 2 39 8
2 1
-1
1600 1 18 3199 30399
34 3
-1
2 12 7 50 56
提示
【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le T \le 2 \times {10}^5\)，\(1 \le a, b, c \le {10}^9\)。
part 1
\(ax+by=m\)的必要有解条件是\(m\) \(mod\) \(gcd(a,b)=0\)
\(a,b\)同为\(gcd(a,b)\)的倍数，则\(ax和by\)为\(gcd(a,b)\)的倍数
则\(ax+by\)为\(gcd(a,b)\)的倍数，所以\(m\)为\(gcd(a,b)\)的倍数
其他的就正常开始用exgcd做就行，详情 [NOIP2012 提高组] 同余方程
part 2
方程可以写成\(a(x+kb)+b(y-ka)=m\)(拆括号消掉就行了)
而这其中的\(x=x_1+kb和y=y_1-ka中a,b的最小时b=b/gcd(a,b) a=a/gcd(a,b)\)
所以\(当x>0则x_1+kb>0所以k>-\frac{x_1}{b}\)
\(当y>0则y_1-ka>0所以k<\frac{y_1}{a}\)
\(-\frac{x_1}{b}<k<\frac{y_1}{a}\)
\(若k为空集则无正整数解\)
\(因为x与y是呈反比例的关系\)
\(所以由上述可知在取k的左端点时存在x的max和y的min\)
\(取k的右端点时存在y的max和x的min\)
part 3（注意）
1 开long long
2 part 2中的k的左右范围在开始时是不可以取到等于的，所以防止出现smin和smax刚好被整除的情况出现要处理一下,因为分母与分子在不被整除的情况下相差一定大于等于1，所以加小于等于1的都数都行
3 x与y在刚出exgcd时是在\(ax+by=gcd(a,b)\)时候的解，所以要乘上\(\frac{c}{gcd(a,b)}\)，因为前面\(c\)处理过，所以直接乘\(c\)就行
其他相关可见我参考的博客
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
long long t , a , b , c , g , temp;
long long x , y , xmax , xmin , ymax , ymin , solution;
long long smin , smax;//记得是long long
inline long long read()
{
long long x = 0 , f = 1 ;
char ch = getchar();
while ( ch < '0' || ch > '9' ) {
if ( ch == '-' ) f *= -1;
ch = getchar();
}
while ( ch >= '0' && ch <= '9' ) {
x = ( x << 1 ) + ( x << 3 ) + ( ch - '0' );
ch = getchar();
}
return x * f;
}//快读
void exgcd( long long a_ ,long long b_ ) {
if ( b_ == 0 ){
x = 1;
y = 0;
return;
}
exgcd( b_ , a_ % b_ );
temp = x;
x = y;
y = temp - ( a_ / b_ ) * y;
return;
}
int main()
{
t = read();
while ( t -- ) {
x = 0 , y = 0;
a = read() , b = read() , c = read();
g = __gcd( a , b );
if ( c % g != 0 ) {
puts("-1");
continue;
}
a /= g , b /= g , c /= g;
//缩小精度 防止出现b过大的情况
exgcd( a , b );
//因为a(x1+kb)+b(y1-ka) = c = a*x1+kab+b*y1-kab =a*x1+b*y1
//所以通解形式是x = x1 + kb 和 y = y1 - ka
//这里得到 x > 0 和 y > 0
//x1 + kb > 0 则 k > - ( x1 / b )
//y1 - ka > 0 则 k < ( y1 / a )
//因为原式子不可取等
//所以在取等的时候前面要加上1后面减1防止出现刚好simn和smax可以整除的情况
x *= c;
y *= c;
smin = ceil ( ( (double) -x + 1.0 ) / (double)b);//这里注意除的是b
smax = floor ( ( (double) y * 1.0 - 1.0 ) / (double)a);//这里注意除的是a
smin = floor ( smin );
smax = ceil ( smax );
solution = smax - smin + 1;
xmin = x + smin * b;
ymax = (c - a * xmin) / b;
ymin = y - smax * a;
xmax = (c - b * ymin) / a;
if ( smin > smax ) printf ( "%lld %lld\n" , xmin , ymin );
else printf( "%lld %lld %lld %lld %lld\n" , solution, xmin , ymin , xmax , ymax );
}
return 0;
}
