n皇后问题

n皇后问题：
* 给定一个n*n的棋盘，向该棋盘中放入n个皇后，使得n个皇后之间不在同行同列或同斜线，问有多少种方法
*
* 解题思路：
* 采用深度优先搜索的思想：
* 1.整体上通过按行的思想，从第0行到第n-1行逐层深入进行递归。
* 2.每次递归时要记录之前所有已经放好的皇后的位置，用于接下来判断该行哪些位置能放皇后

 

1.未优化常数的方法

代码及解析：

public static int num1(int n) {
        if (n < 1) {
            return 0;
        }
        int[] record = new int[n];//开辟用于记录0--n-1行皇后所在列位置的数组空间
        return process1(0,record,n);
    }
    
    /*
     * i表示目前深度优先搜索所寻找到的层数
     * []record记录了0——i-1层的皇后所在的列数位置
     * n表示一共要探索的总层数
     * 返回值：返回可以进行的摆放方式
     */
    public static int process1(int i,int[] record,int n) {
        if (i == n) {//说明0——n-1层的皇后位置都被正常放好，可以返回一种有效的摆放方式
            return 1;
        }
        int ans = 0;
        for (int k = 0; k < n; k++) {
            if (isValid(record,i,k)) {//如果在当前i-1层摆放的情况下，第i层第k列允许放一个皇后
                record[i] = k;
                ans += process1(i+1,record,n);
            }
        }
        return ans;
    }
    
    //判断当前位置能否放入皇后
    public static boolean isValid(int[] record,int i,int k) {
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (record[j] == k || Math.abs(i - j) == Math.abs(record[j] - k)) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

 

2.优化方法：

优化思路：
* 使用数值中的每一位的0/1来表示皇后位置，第i位为1/0表示第i列有/无皇后
* 所以如果该列有了一个皇后，后续的皇后都不能在这一列。
* 而不能同斜线问题，则用位运算的左移和右移来进行实现

代码及解析：

//因为int最大值为2^32 - 1,所以我们讨论不超过32皇后的问题
    public static int num2(int n) {
        if (n < 1 || n > 32) {
            return 0;
        }
        int limit = 1 << n;//n个皇后只要用n位即可，但int数一共有32位，所以加一个限制条件，让它只用n位
        return process2(limit,0,0,0);
    }
    
    /*
     * col用来处理皇后放置问题的列限制,1表示不能放皇后,0则可以
     * left用来处理皇后放置问题的左斜线限制,1表示不能放皇后,0则可以
     * right用来处理皇后放置问题的右斜线限制,1表示不能放皇后,0则可以
     */
    public static int process2(int limit,int col,int left,int right) {
        if (col == limit) {//所有列都不能放则说明n个皇后已放满，形成了一个有效的放置情况
            return 1;
        }
        int pos = limit & (~(col | left | right));//得到能放皇后的位置(即所有为1的位置)
        int ans = 0;
        while (pos != 0) {
            int rightOne = pos & (~pos + 1);//获取最右位，从该位(列)开始进行深度搜索
            pos = pos - rightOne;//因为该列有了皇后，所以对pos进行更新
            ans += process2(limit,col | rightOne,left | rightOne << 1,right | rightOne >> 1);
        }
        return ans;
    }