傅里叶变换推导

定义

\[F(\omega)=F(f(t))=\int_{}^{}f(t)*e^{-j\omega t}dt \]

常用信号的傅里叶变换对

• \(F(A*cos(\omega_0 t))=\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\)
• \(F(A*sin(\omega_0 t))=-j\pi A[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\)
• \(F(A*cos(\omega_0 t))= \frac{A}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)]\)
• \(F(A*sin(\omega_0 t))=-j \frac{A}{2}[\delta(f-f_0)-\delta(f+f_0)]\)

狄拉克δ函数

• 关于狄拉克δ函数
  狄拉克δ函数是一个广义函数，在物理学中常用其表示质点、点电荷等理想模型的密度分布，该函数在除了零以外的点取值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。
  狄拉克δ函数在概念上，它是这么一个“函数”：在除了零以外的点函数值都等于零，而其在整个定义域上的积分等于1。
• 理解狄拉克δ函数
  这是一个抽象的函数，只有在0处有一个脉冲，其他地方都是0，可以用来表示理想频谱图中的频点，所以这里要引入这个概念。
• 性质

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{jkx}dx=2\pi \delta(k) \]

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-jkx}dx=2\pi \delta(k) \]

欧拉公式

\[cos(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}) \]

\[sin(\omega_0 t)=\frac{1}{2}(e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}) \]

证明cos的傅里叶变换

令

\[f(t)=Acos(\omega_0t) \]

根据欧拉公式得到：

\[f(t)=\frac{A}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t}) \]

根据傅里叶变换的定义，对f(t)做傅里叶变换：

\[F(f(t))=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)*e^{-j\omega t}dt \]

\[=\int_{-\infty}^{\infty}*\frac{A}{2}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})*e^{-j\omega t}dt \]

\[=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}+e^{-j\omega_0t})*e^{-j\omega t}dt \]

\[=\frac{A}{2}\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}*e^{-j\omega t}+e^{-j\omega_0t}*e^{-j\omega t})dt \]

\[=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{j\omega_0t}*e^{-j\omega t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j\omega_0t}*e^{-j\omega t})dt] \]

\[=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j(\omega-\omega_0)t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j(\omega+\omega_0)t}dt)] \]

根据狄拉克函数：

\[=\pi A[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)] \]

也可以用频率代替角频率：

\[F(f(t))=\frac{A}{2}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f-f_0)t}dt)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f+f_0)t}dt)] \]

\[=\frac{A}{2}*\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f-f_0)t}d2\pi t)+\int_{-\infty}^{\infty}(e^{-j2\pi(f+f_0)t}d2\pi t)] \]

\[=\frac{A}{2}[\delta(f-f_0)+\delta(f+f_0)] \]

• 说明这也是为什么对于时域信号做傅里叶变换，得到的频谱图有两个频谱
• 注意横坐标为\(\omega\)和f时，频谱幅值不一样。

C++实现：https://www.bilibili.com/read/cv23087507/