傅里叶级数推导

一、傅里叶级数说明

• 0.定理
  任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。

• 1.傅里叶级数
  傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数表示周期性函数的方法

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$$

系数$A_0\space a_n \space b_n$ 可以通过函数f(t)在一个周期内的积分来计算。
需要满足狄利克雷条件条件：
（1）在一周期内，连续或只有有限个第一类间断点；
（2）在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个；
（3）在一周期内，信号是绝对可积的。

• 2.争议性
  数学、物理学里很多定理都是通过公式推导得来的，而傅里叶级数原理确实傅里叶假想出来的（傅里叶在做热传导计算时提出），这个定理特殊处在于它无法正向去推导，而是先提出定理再去证明和应用。
  大概时间线是这样的：
  傅里叶任命助教，协助拉格朗日进行数学教学工作；
  傅里叶在《热的传播》中提出：任何连续周期信号可以由一组适当的正弦曲线组合而成；
  拉普拉斯等人赞同此文章，但拉格朗日强烈反对；
  傅里叶发表《热的解析理论》，提出傅里叶级数；
  狄利克雷傅里叶级数收敛的充分条件，即狄利克雷条件；

自始至终，拉格朗日认为正弦曲线无法组合成一个带有棱角的信号，而傅里叶级数表明可以用正弦曲线来非常逼近地表示它，逼近到两种表示方法不存在能量差别。

• 3.关于本文
  本文主要是求解相关系数，并不能正向证明如何得到傅里叶级数，毕竟大佬们争议如此久的话题岂是我等能考虑的。

二、提前准备

• 1.泰勒级数
  任意一个函数都可以用一个多项式来逼近：

$$f(x)=A+Bx+Cx^2+Dx^3+...$$

• 2.麦克劳林待定系数法
  在泰勒级数基础上，依次对等式左右两边求n阶导数，然后令x=0，即可求得系数A、B、C...

$$f'(x)=B+2Cx+3Dx^2+4Ex^3...$$

$$f''(x)=2C+6Dx+12Ex^2...$$

...

$$A=f(0)$$

$$B=f'(0)$$

$$C=f''(0)/(1*2)$$

$$D=f'''(0)/(1*2*3)$$

$$N=f^n(x)/n!$$

...

• 3.三角函数的正交性
  一个三角函数系：1，cosx , sinx , cos2x , sin2x , … , cosnx , sinnx , … 这一堆函数（包括常数1）中任何两个不同函数的乘积在区间[-π, π]上的积分等于零。
  举例证明：

$$coskx*cosnx=\frac{1}{2}[cos(k+n)x+cos(k-n)x]$$

当k不等于n时：

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(nx)dx=0\space\space(n=1,2,3...)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(nx)dx=0\space\space(n=1,2,3...)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(kx)*cos(nx)dx=0\space\space(k,n=1,2,3...)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(kx)*cos(nx)dx=0\space\space(k,n=1,2,3...;k!=n)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(kx)*sin(nx)dx=0\space\space(k,n=1,2,3...;k!=n)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(kx)*cos(kx)dx=\pi\space\space(k=1,2,3...)$$

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(kx)*sin(kx)dx=\pi\space\space(k=1,2,3...)$$

注意第3个式子中k是可以和n想等的！

推导①：

$$\int_{-\pi}^{\pi} sin(kx)*sin(nx)dx=-\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}cos(k+n)xdx-\int_{-\pi}^{\pi}cos(k-n)xdx]$$

$$=-\frac{1}{2}[\frac{1}{k+n}sin(k+n)x|_{-\pi}^{\pi}-\frac{1}{k-n}sin(k-n)x|_{-\pi}^{\pi}]$$

$$=0+0=0$$

推导②：

$$\int_{-\pi}^{\pi} cos(kx)*cos(kx)dx=\frac{1}{2}[\int_{-\pi}^{\pi}1dx+\int_{-\pi}^{\pi}cos(2kx)dx]$$

$$=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}1dx$$

$$=\pi$$

其他公式同理。

• 4.常数定积分原理

$$\int_{a}^{b}Cdx=C*(b-a)$$

三、傅里叶级数解推导

• 1.神奇的三角函数
  由于物体的振动可以用三角函数来表示：

$$f(t)=Asin(\omega t+\phi)$$

其中$A.\omega.\phi$分别表示振幅、角频率、初相位。

• 2.傅里叶猜想
  傅里叶引入猜想：任意周期函数都可以表示成许多的三角函数线性叠加（猜想来源貌似是解热方程和振动方程），即：

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}A_n*sin(n\omega t+\phi_n)$$

其中$A_0$、$n$、$A_n$、$\phi_n$都是常数，即对任意周期函数f(t)而言，可以分解乘很多个三角函数线性叠加，这些三角函数有一个基准角频率$\omega_0$（n=1），其他的三角函数角频率依次是$\omega_0$的整数（也就是我们现在熟知的谐波）
根据三角函数展开，得到：

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[A_nsin(n\omega t)cos(\phi_n)+A_ncos(n\omega t)sin(\phi_n)]$$

令

$$a_n=A_nsin(\phi_n)$$

$$b_n=A_ncos(\phi_n)$$

故

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$$

由于此时的这个公式只是猜想的，方程中只有f(t)是已知的，而$A_0$、$a_n$、$b_n$是未知的，想要公式成立，只需要

证明$A_0$、$a_n$、$b_n$可以由已知的f(t)来表示

• 3.傅里叶级数证明
  对$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$两边进行$[-\pi,\pi]$的积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)=\int_{-\pi}^{\pi}A_0+\int_{-\pi}^{\pi}\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$$

根据三角函数的正交性，得到：

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)=\int_{-\pi}^{\pi}A_0+0$$

根据常数定积分原理，得到：

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)=A_0*(2\pi)=2\pi A_0$$

故：

$$A_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)$$

对$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$两边乘以$cosk\omega t$（其中k=n）：

$$f(t)*cosk\omega t=A_0*cosk\omega t+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)*cosk\omega t+b_nsin(n\omega t)*cosk\omega t]$$

展开累加项得到：

$$f(t)*cosk\omega t=A_0*cosk\omega t$$

$$+[a_1cos(1\omega t)*cosn\omega t+a_2cos(2\omega t)*cosn\omega t+...a_ncos(n\omega t)*cosn\omega t]$$

$$+[a_1sin(1\omega t)*cosn\omega t+a_2sin(2\omega t)*cosn\omega t+...a_nsin(n\omega t)*cosn\omega t]$$

两边进行$[-\pi,\pi]$的积分：

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*cosk\omega t=\int_{-\pi}^{\pi}A_0*cosk\omega t$$

$$+[\int_{-\pi}^{\pi}a_1cos(1\omega t)*cosn\omega t+\int_{-\pi}^{\pi}a_2cos(2\omega t)*cosn\omega t+...\int_{-\pi}^{\pi}a_ncos(n\omega t)*cosn\omega t]$$

$$+[\int_{-\pi}^{\pi}a_1sin(1\omega t)*cosn\omega t+\int_{-\pi}^{\pi}a_2sin(2\omega t)*cosn\omega t+...\int_{-\pi}^{\pi}a_nsin(n\omega t)*cosn\omega t]$$

根据三角函数的正交性，得到：

$$\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*cosk\omega t=0$$

$$+[0+0+...\int_{-\pi}^{\pi}a_ncos(n\omega t)*cosn\omega t]$$

$$+[0+0+...0]$$

$$=a_n\int_{-\pi}^{\pi}cos(n\omega t)*cosn\omega t$$

$$=a_n\pi$$

故：

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*cosk\omega t \space\space\space\space(k=n)$$

同理对$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$两边乘以$sink\omega t$（其中k=n）,
然后两边进行$[-\pi,\pi]$的积分，得到：

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*sink\omega t \space\space\space\space(k=n)$$

综上：

$$f(t)=A_0+\sum_{n=1}^{n}[a_ncos(n\omega t)+b_nsin(n\omega t)]$$

其中：

$$A_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)$$

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*cosk\omega t \space\space\space\space(k=n)$$

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)*sink\omega t \space\space\space\space(k=n)$$

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/41455378

离散周期信号的傅里叶级数

1.只说结论：
$x(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}a_ne^{jn(\frac{2\pi}{T})t}$
$a_n=\frac{1}{T}\int_Tx(t)e^{-jn(\frac{2\pi}{T})t}dt$

推导参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/617495973