2023 年 2月随笔档案 - jucason_xu

摘要：我们考虑按照将所有的人分成若干个等价类，然后整组整组的考虑。我们考虑使用生成函数来解决这个问题，设

x_{i}

是第

i

组得票的生成变量，生成函数的项

x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{n}^{k_{n}}

表示第

i

组得票

k_{i}

的方案种数，

f_{i}

是第阅读全文

posted @ 2023-02-28 21:30 jucason_xu 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

暂时

摘要：首先，对于

⌈ \frac{x}{2} ⌉ \geq b

，肯定选择前面的做划算如果还有

x \geq 2 b

k 1

没有了，贪心选前

k 2

大

k 2

没有了，贪心选前

k 1

大对所有

x

，

x < 2 b

然后所有的数除以二之后都小于

b

对于剩下的数阅读全文

posted @ 2023-02-28 21:29 jucason_xu 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

edu总结

摘要：

edu 22

813A

贪心

813B

指数枚举，排序

813C

博弈，

LCA

813D

无锡班发过的网络流、贪心

813E

主席树，静态树套树阅读全文

posted @ 2023-02-27 21:03 jucason_xu 阅读(50) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF813F - Bipartite Checking

摘要：线段树分治。我们发现这个形式就是线段树分治，那么我们就线段树分治。我们考虑如何在按秩合并并查集上维护二分图的关系。假设我们现在在同一个并查集中的

x

和

y

上连边，考虑它们到根的距离

d e p_{x}

和

d e p_{y}

，如果加起来是偶数，就会产生奇环，否则不会对图的二分性产生影响。而到根阅读全文

posted @ 2023-02-27 20:32 jucason_xu 阅读(13) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF813E - Army Creation

摘要：这道题的主流做法是主席树。考虑离线怎么做，首先是莫队，但是很明显莫队很难往在线扩展。那么考虑线段树。首先进行一些分析，我们可以对于每个

a

，将第

i

个

a

和第

i + k

个

a

配对，那么如果

[l, r]

中包含了

k + s

个

a

，则一共包含了

s

个对。那阅读全文

posted @ 2023-02-27 20:11 jucason_xu 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

NOIP2017 - D2T3 - phalanx

摘要：按照思维难度加大和代码难度减小的顺序，我们来看这道题的不同做法。若你无畏，我亦无畏 - 平衡树平衡树简直是天然用来维护这种操作的——合并两个区间，提取一个值。我们可以对每个行的前

m - 1

位和最后一列各维护一棵平衡树。平衡树上二分得到要删除的数，将当前区间分成左边 - 要提走的数 - 右边阅读全文

posted @ 2023-02-27 15:44 jucason_xu 阅读(58) 评论(0) 推荐(2) 编辑

CF702F - T-shirts

摘要：结构稳，01 分，枉划层，谁想锦衣自选人？不过贪婪座下臣。

Treap

我们的第一个想法是用衣服贡献人。把衣服按照

- p_{i}, c_{i}

为关键字排序，然后依次遍历衣服，看当前哪些人会买当前的衣服。我们可以用

f h q T r e a p

这样的数据结构维护所有的人的 ${b_i,a 阅读全文

posted @ 2023-02-27 14:32 jucason_xu 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF817F - MEX Queries

摘要：题意：现在有无穷多个位置（从

1

开始），一开始都是

0

，每次用

1 / 0

覆盖一个区间或翻转一个区间的

0 / 1

。现在给出操作，求每次操作结束后第一个

0

的位置。我们发现值域过大，不方便用数据结构维护，则考虑离散化。注意为了给可能存在的区间之间的空隙留下位置，例如 $[1,2] 阅读全文

posted @ 2023-02-24 17:17 jucason_xu 阅读(23) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF817E - Choosing The Commander

摘要：题意：每次插入/删除一个数，或询问当前所有数中异或上

p

之后小于

l

的有多少个。看到动态最小化异或值的，我们首先想到

Trie

，我们先建立一棵

Trie

，在每个节点上保存当前节点子树的个数总和，就可以方便的

O (\log a)

插入或者删除。然阅读全文

posted @ 2023-02-24 17:03 jucason_xu 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF818G - Four Melody

摘要：题意：对于一个序列，令一个

m e l o d y

为一个子序列满足子序列的相邻两项相差

1

或者模

7

同余。现在提取四个不重合的

m e l o d y

，求最长总长度。我们先考虑暴力的网络流，每个点拆成两个，中间流量

1

，费用

- 1

，每个点朝着所有可以转移向的点连边。边数是 $O(n^2) 阅读全文

posted @ 2023-02-23 21:11 jucason_xu 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF818F - Level Generation

摘要：题意：假设当前有

n

个点，求最多的边数，使得桥的数量

\geq ⌈ \frac{m}{2} ⌉

。我们考虑构造，首先，整张图一共只有一个双连通分量。因为我们如果有两个双连通分量，完全可以通过同构结合成一个。而从双连通分量之外的所有边都是桥，不妨假设它就是一条链。那么，链上有阅读全文

posted @ 2023-02-23 20:54 jucason_xu 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF825G - Tree Queries

摘要：现在有

n

次操作，每次将一个点设为黑色，或者查询：从当前点到任意黑点路径上最小值的最小值。保证第一次操作是设置黑点。强制在线。我们考虑这样一个过程，我们把第一次操作的点设为根，从根出发进行 dfs，找到每个点到根的最小值

a_{x}

。这样如果不增加新的黑点，查询

x

点的答案就是 $a_ 阅读全文

posted @ 2023-02-23 20:35 jucason_xu 阅读(17) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF825F - String Compression

摘要：题意：压缩字符串，把字符串分成若干个子串，每个子串可以被压缩成“循环次数

+

循环节”的形式，求最小长度。 dp 求 lcp 先

O (n^{2})

dp 求出所有后缀对的

l c p_{x, y}

，（也可以

SA

O (\log n)

求，但是本题

n = 8000

还有 $\ 阅读全文

posted @ 2023-02-23 19:36 jucason_xu 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF845G - Shortest Path Problem?

摘要：题意：求带边权无向图上

1

到

n

的异或最短路，可以重复经过某条边。首先，我们考虑从

x

到

y

的路径

A

，它的权值是

a

。我们从路径中途的某个地方离开路径，来到一个地方，然后回到这个路径（因为路径的结尾是

y

，到

y

的路径一定会回到这个

A

）。如果离开阅读全文

posted @ 2023-02-23 18:33 jucason_xu 阅读(18) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF845F - Guards In The Storehouse

摘要：题意：在

(x, y)

放一个哨兵，可以监视本行后面的所有格子直到障碍、本列后面所有的格子直到障碍。求使全盘最多一个位置不被监视的方案总数。我们发现，因为

n m \leq 250

，所以

min (n, m) \leq 15

。我们选择较小的这个作为

n

，另一个作为

m

进行状压。设计状态阅读全文

posted @ 2023-02-23 18:15 jucason_xu 阅读(30) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF846F - Random Query

摘要：题意：对于一个序列，每次随机选择两个数

l, r

，如果

l > r

就交换，求

l, r

中本质不同的数个数的期望。我们发现，在所有的

n^{2}

个选择方案中，其实就是

l < r

的区间，会被选择

2

次，

l = r

的区间会被选择

1

次。如何计算呢？在同一个区间中，我们阅读全文

posted @ 2023-02-23 17:49 jucason_xu 阅读(22) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF846E - Chemistry in Berland

摘要：题意：有一颗树，每个点上有

b_{i}

东西，从叶子往上的汇率是

1 : 1

，从父亲往下的汇率是

k : 1

，求能否使每个点的东西都不少于

a_{i}

。我们发现，从上往下肯定是不划算的，我们一定优先从下往上。而且一条边只经过一次，因为给

a

个拿回

b

个会导致总量减少，是不优的。可以通过阅读全文

posted @ 2023-02-23 17:13 jucason_xu 阅读(15) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF863E - Turn Off The TV

摘要：题意：对于若干个闭区间

[l_{i}, r_{i}]

，它们构成了一个集合

⋃_{i \leq n} [l_{i}, r_{i}]

，求一个

k

，使得

⋃_{i \leq n} [l_{i}, r_{i}] = ⋃_{i \leq n, i \neq k} [l_{i}, r_{i}]

。我们可以区间覆盖，阅读全文

posted @ 2023-02-22 22:00 jucason_xu 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF873F - Forbidden Indices

摘要：题意：对于一个字符串

S

，有一些位置是被

Ban

掉的。对于这个字符串的所有子串，它的分数是（长度

\times

在没有被

Ban

掉的位置结尾的次数），求最大分数。首先考虑

SAM

，我们在

SAM

上维护当前的 $ 阅读全文

posted @ 2023-02-22 20:58 jucason_xu 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF873E - Awards For Contestants

摘要：题意：对于

n

个人，每个人有一个分数，现在要把所有人分成四等，使得：前三类都有人前三类中，任意类的人数不大于其他类的人数的两倍不能有

i

的分数比

j

高但是所属的等级不如

j

定义

d_{i}

是第

i

类的最低分和第

i + 1

类的最高分的差，求最优的方案，按照 $ 阅读全文

posted @ 2023-02-22 20:49 jucason_xu 阅读(20) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF884F - Anti-Palindromize

摘要：我们发现这个题的数据范围、“字符和位置匹配”再加上一条奇怪的限制，长得就很网络流，那么就考虑如何用网络流做。考虑重新解释一下这个题面，其实就是：给定一个字符集和

n

个位置进行匹配，其中，字符

c h

到位置

i

的边和字符

c h

到位置

n - i + 1

的边只能选一个。对于一个匹配阅读全文

posted @ 2023-02-22 20:40 jucason_xu 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF884E - Binary Matrix

摘要：题意：对于一个使用十六进制读入的

01

矩阵，求其中

1

的连通块个数，空间限制 16MB 。

n \leq 2^{12}, m \leq 2^{14}

我们认为如何读入是比较基础的内容，不作过多的介绍，具体请看代码。离线下来怎么做首先，如果不考虑空间限制，这题是比较简单的。我们可以直接在图上 D 阅读全文

posted @ 2023-02-22 20:39 jucason_xu 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF837G - Functions On The Segments

摘要：我们考虑

\sum_{i = l}^{r} f_{i} (x)

是个什么东西。首先这个奇怪的东西很好离线做，所以尽管题目要求强制在线，我们还是离线下来试试。我们发现，我们可以

x

坐标从

1

到

200000

扫过去，对于每个

f_{i}

，在

x_{i, 1} + 1

和

x_{i, 2} + 1

阅读全文

posted @ 2023-02-20 20:02 jucason_xu 阅读(27) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF837F - Prefix Sums

摘要：首先，我们发现这道题目“序列会增长”的情况完全就是唬人的，因为我们把

x_{i}

输入之后，

y_{i}

永远是

0

，而前导

0

在计算的过程中没有任何的作用。所以可以直接原地做前缀和。我们还发现，除了序列

A^{0}

，其他的序列都是递增的（$A^i_j-A^i_{j-1}=A^{i-1}_ 阅读全文

posted @ 2023-02-20 19:13 jucason_xu 阅读(52) 评论(0) 推荐(0) 编辑

Atcoder题解：Arc156_c

摘要：数据范围

5 \cdot 10^{3}

，但是介绍一个

O (n \log n)

做法。我们考虑观察样例，发现样例都很小，而且

LCS

的长度都是

1

，那么我们就猜答案最多为

1

，并尝试去构造。我们画一个链，发现链上的统配解就是倒过来。那么我们考虑普通的树，我们发现，普通的阅读全文

posted @ 2023-02-19 13:57 jucason_xu 阅读(43) 评论(3) 推荐(1) 编辑

组合计数课程笔记（二）：十二重计数法（初等计数）

摘要：组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为

12

个集合映射问题。但是其中有

2

个是平凡的，所以我们只研究

10

个。十二重计数法在数学上，严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它：把

n

个苹果装进

m

阅读全文

posted @ 2023-02-17 15:18 jucason_xu 阅读(402) 评论(0) 推荐(1) 编辑

组合数学课程笔记（一）：框架构建

摘要：组合数学的严格定义是非常困难的，其设计的内容广泛，分类困难，体系性较弱。不过，我们可以把组合数学按照问题、工具、对象三种方法进行分类，例如图论，就是按照研究对象分出的内容。而别的分支，例如代数组合学，就是对一系列的代数对象，如生成函数、反演等进行研究。我们认为最科学的分类方法是根据组合数学所解决阅读全文

posted @ 2023-02-17 13:48 jucason_xu 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉五边形定理的高斯证明

摘要：欧拉五边形定理的内容：

\prod_{n \geq 1} (1 - x^{n}) = \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} x^{n (3 n \pm 1) / 2}

我们来介绍高斯的证法考虑下面这个无穷积 $$F(z)=(1+x^1z)(1+x^1z^{-1})(1+x^3z)(1+x^3z^{-1})\ 阅读全文

posted @ 2023-02-16 20:09 jucason_xu 阅读(50) 评论(0) 推荐(1) 编辑

普通生成函数学习笔记

摘要：现在我们考虑有一个序列

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots)

。我们将这个序列作为形式幂级数

A (x) = \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}

的常数项序列。

A (x)

就是序列

a_{i}

的生成函数。在生成函数中，类似形式幂级数，

x

的具体取值是阅读全文

posted @ 2023-02-16 18:48 jucason_xu 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉五边形定理的欧拉证明

摘要：欧拉五边形定理的内容：

\prod_{n \geq 1} (1 - x^{n}) = \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} x^{n (3 n \pm 1) / 2}

我们介绍欧拉的证明方法。 $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{ 阅读全文

posted @ 2023-02-16 18:48 jucason_xu 阅读(143) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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