0907训练

P - windy 数

首先考虑把 \([a,b]\) 的答案转化为 \([1,b]\) 的答案减去 \([1,a-1]\) 的答案。

然后就可以数位 \(dp\)，设 \(dp_{i,j,k}\) 表示当前 \(dp\) 到第 \(i\) 位，上一个是 \(j\)，目前是否已经小于目标的方案数。

这个题有一个不同之处是前导 \(0\) 不能当存在，所以需要从最高位开始插入。

Q - 超级钢琴

考虑二分答案我们选择的权值最小的区间是多小。

我们对当前 \(check\) 的答案 \(x\)，考虑对每个右端点，找到它左端点可行的选择区间 \([i-R+1,i-L+1]\)，有多少个位置满足 \(s_r-s_{l-1}\ge x\)。

这个显然可以主席树，但是也可以离线之后树状数组解决。

然后，我们处理出所有 \(>x\) 的区间和，并统计这样的区间有多少个，不足 \(k\) 则直接用 \(x\) 补齐。

具体的，我们用 set 存储所有可行的左端点，然后将所有符合条件的弹出贡献，再压回去。因为我们的可行区间是连续的，且左右端点都单调，弹出次数不会超过 \(k\)，所以复杂的有保证。

最终复杂度 \(O(n\log ^2n)\)

R - 摆渡车

设 \(dp_{i}\) 表示 \(t_i\) 时刻出发了一辆车，\([1,i]\) 之间的所有人的等待时间总和。

我们发现发车时间其实只有两种：

• 上一次车回来立马发车

• 在某个人来了立马发车

剩下的所有情况，都可以找到最近的如是的关键点，平移过去，一定会更优。

所以，我们考虑每次从 \(t_i\) 发车之后，跟了若干次上次车回来立马发车，直到 \(x\) 的前一次不发车，等到 \(t_x\) 再发车。

然后考虑 \([i+1,x]\) 内的贡献，就是一个 \(m\) 的循环周期，每个人找到所在周期的右端点，进行贡献即可，然后就是 \(dp_i\) 转移到 \(dp_x\)。

复杂度 \(O(n^3)\)。

S - 序列分割

首先，划分序列的顺序和答案无关，即存在结合律。

直接暴力验证，\(a(bc)=ab+ac+bc，(ab)c=ac+bc+ac\)

所以我们直接暴力枚举切割点，设 \(dp_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个字符分了 \(j\) 段的最小答案。

那么 \(dp_{i,j}=\min \{dp_{x,j-1}+(s_i-s_{x})s_x\}\)

发现 \(s_i\) 单调，显然可以斜率优化。

结束了，复杂度 \(O(n)\)。

T - 可重集

关键是哈希函数的挑选。

首先考虑找到 \(k\)，这个很简单，我们找到两段区间的区间最大值，他们的差就是 \(k\)。

然后考虑哈希，哈希函数要满足区间加性质，还要很方便的集体平移 \(k\)。

我一开始用线段树维护平方和，利用 \((a_i+k)^2=a_i^2+2a_ik+k^2\) 平移，但是冲突了。后来改成立方和，依旧冲突了。

考虑什么样的哈希函数可以平移，还有不错的随机性。

我们发现，如果随机一个值 \(x\)，那么设哈希函数为 \(x^a\)。\(\sum x^{a+k}=x^k\sum x^a\)，有很好的平移性。取模之后几乎就是随机值了，有不错的随机性。

那就很好了，线段树维护单点修改、区间和、区间最值。

感觉非常智慧。

U - Corn Fields

考虑轮廓线 \(dp\)，\(dp_{x,y,msk}\) 表示当前处理到 \((x,y)\)，轮廓线上的草坪情况是 \(msk\)，那么当且仅当原先 \(y-1\) 和 \(y\) 都是空的且 \(a_{x,y}=1\)，才能在 \(y\) 上填。

就做完了

复杂度 \(O(nm2^m)\)。