类欧几里得算法学习笔记

ABC313，逆天

为了 ABC313G，来学一下最简单形式的类欧算法。

类欧几里得算法似乎和欧几里得唯一的共性是复杂度证明。

形式化的，我们需要计算 $f(a,b,c,n)=\sum _{i=0}^n\lfloor {\displaystyle \frac{ai+b}{c}}\rfloor$。

首先，如果 $a\ge c$ 或者 $b\ge c$，

$$f(a,b,c,n)=\sum _{i=0}^n(\lfloor {\displaystyle \frac{a}{c}}\rfloor i+\lfloor {\displaystyle \frac{b}{c}}\rfloor +\lfloor {\displaystyle \frac{(amodc)i+bmodc}{c}}\rfloor )$$

$$=\lfloor {\displaystyle \frac{a}{c}}\rfloor {\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}+\lfloor {\displaystyle \frac{b}{c}}\rfloor (n+1)+f(amodc,bmodc,c,n)$$

否则，考虑

$$\sum _{i=0}^n\lfloor {\displaystyle \frac{ai+b}{c}}\rfloor =\sum _{i=0}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{ai+b}{c}\rfloor }1$$

$$=\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=0}^n[j<\lfloor {\displaystyle \frac{ai+b}{c}}\rfloor ]$$

$$j<\lfloor {\displaystyle \frac{ai+b}{c}}\rfloor \Rightarrow j+1\le {\displaystyle \frac{ai+b}{c}}\Rightarrow cj+c\le ai+b$$

$$\Rightarrow cj+c-b-1<ai\Rightarrow \lfloor {\displaystyle \frac{cj+c-b-1}{a}}\rfloor <i$$

所以，

$$f(a,b,c,n)=\sum _{j=0}^{\lfloor \frac{an+b}{c}\rfloor -1}\sum _{i=\lfloor \frac{cj+c-b-1}{a}\rfloor +1}^{n}1$$

设 $m=\lfloor {\displaystyle \frac{an+b}{c}}\rfloor$

$$=\sum _{j=0}^{m-1}(n-\lfloor {\displaystyle \frac{cj+c-b-1}{a}}\rfloor )=nm-f(c,c-b-1,a,m-1)$$

而我们发现，$a,c$ 处在“互相取模，交换”的循环中，最终会来到 $a=0$ 或者 $n=0$，这就好解决了。