CF1499F - Diameter Cut

题意：对于一棵树，有多少种删去边的方式，使得删边之后得到的森林中，每棵树的直径都不超过 $k$。

见数据范围和直径知 $dp$，设 $d{p}_{i,j}$ 表示当前考虑子树 $i$，所有直径不大于 $k$，且从 $i$ 往下最深深度为 $j$ 的方案数。

同时注意每棵树转移到祖先的时候，$j$ 都要自增 $1$，而 $d{p}_{i,0}$ 就变成了所有 $d{p}_i$ 的和，因为就是对所有满足条件的 $i$ 的方案，都把祖先这条边切掉。

下面我们默认转移时使用的 $dp$ 数组是经过修改的，得到的 $dp$ 数组是未经过修改的。

然后考虑转移，首先，对于 $j\le k/2$，我们可以直接转移，因为只要在每个儿子节点都满足 $j\le k/2$ 即可。也就是 $\prod _{b\in S_i}\sum _{p=0}^{j}d{p}_{b,p}$。然后这个我们可以预处理每个 $dp$ 数组的前缀和，求每个 $j$ 的时候都扫一遍乘起来。因为每个节点会被父亲的每个 $j$ 扫一次，所以这一步的复杂度是有保证的。

其次我们这里是找到了所有深度不大于 $j$ 的方案数，要精确得到 $j$ 的方案数需要做一次差分。

然后，对于 $j>k/2$ 我们注意到只能有一个节点满足深度为 $j$，那么我们就枚举这个节点 $x$，并且为了直径合法，其他的选择不能超过 $k-j$，所以答案就是 $\sum _{x\in S}\prod _{y\in S,y\ne x}\sum _{p=0}^{k-j}d{p}_{y,p}$。

显然后面的东西可以用前缀后缀预处理出来，也就是我们可以处理 $pr{e}_{i,j}$ 表示将前缀的所有 $su{m}_{i,j}$ 乘起来，$su{f}_{i,j}$ 表示将后缀的所有 $su{m}_{i,j}$ 乘起来，然后我们只需要枚举 $x$，然后把 $pr{e}_{x-1,k-j}$ 和 $su{f}_{x+1,k-j}$ 乘起来，再乘上 $d{p}_{x,j}$ 即可。复杂度依旧有保证。

到这里我们就做完了题目，时间复杂度 $O(nk)$。但是空间复杂度也是 $O(nk)$，要开 $dp,sum,pre,suf$ 四个数组，跑不过去。

首先，习惯乱开 long long 的要关掉，做乘法的时候先乘 1ll 再运算，强转一下死不了人的。这样空间就是 400MB。

然后我们发现，$pre,suf$ 两个数组都只有 $j\le k/2$ 的部分有效，第二维只开 2500 就够了，300MB。

最后，我们发现上述过程，$d{p}_j$ 只在第二个转移乘了一次，完全可以现场用 $sum$ 差分得到。所以我们可以用 $sum$ 代替 $dp$ 数组的作用。同时，我们第一类转移本来就是算出的 $sum$，改成 $dp$ 本来就是浪费时间，还能优化效率，200MB。到这里就可以过了。

我们再次发现，$pre$ 和 $suf$ 没必要对于所有的 $j$ 都处理出来，只要每次转移 $d{p}_{i,j}$ 之前把 $k-j$ 的先处理一遍就行。而且 $pre$ 也没必要处理，完全可以一边 $dp$ 一边处理，这样就只有 100MB 了，稳过，开 long long 也行。

const int P=998244353;
int n,k,dp[5005][5005],a,b;
vt<int>vv[5005];
int lis[5005],sz;
int sum[5005];
int suf[5005];
inline void dfs(int x,int p){
	for(auto j:vv[x])if(j!=p)dfs(j,x);
	sz=0;
	for(auto j:vv[x])if(j!=p)lis[++sz]=j;
	rep(j,0,k/2){
		dp[x][j]=1;
		rep(i,1,sz)dp[x][j]=1ll*dp[x][j]*dp[lis[i]][j]%P;
	}
	rep(j,k/2+1,k){
		dp[x][j]=dp[x][j-1];
		suf[sz+1]=1;
		per(i,1,sz)suf[i]=1ll*suf[i+1]*dp[lis[i]][k-j]%P;
		ll pre=1;
		rep(i,1,sz){
			dp[x][j]=(dp[x][j]+(dp[lis[i]][j]-dp[lis[i]][j-1]+P)%P*1ll*pre%P*suf[i+1]%P)%P;
			pre=1ll*pre*dp[lis[i]][k-j]%P;
		}
	}int sum=dp[x][k];
	per(i,1,k+1)dp[x][i]=(dp[x][i-1]+sum)%P;
	dp[x][0]=sum;
}
signed main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cin>>n>>k;
	rp(i,n-1){
		cin>>a>>b;
		vv[a].pb(b);
		vv[b].pb(a);
	}
	dfs(1,0);
	cout<<(dp[1][k+1]-dp[1][0]+P)%P<<endl;
	return 0;
}
//Crayan_r