CF873E - Awards For Contestants

题意：对于 $n$ 个人，每个人有一个分数，现在要把所有人分成四等，使得：

• 前三类都有人

• 前三类中，任意类的人数不大于其他类的人数的两倍

• 不能有 $i$ 的分数比 $j$ 高但是所属的等级不如 $j$

• 定义 $d_i$ 是第 $i$ 类的最低分和第 $i+1$ 类的最高分的差，求最优的方案，按照 $d_1\to d_2\to d_3$ 为第一、第二、第三关键字排序

首先转化题意，我们考虑枚举一等和二等的人数 $i$ 和 $j$，枚举的同时加入两倍的限制，得到当前的 $d_1$ 和 $d_2$。

然后我们考虑找到一种方式，得到“剩余 $k$ 个人，要求三等奖的人数不小于 ${\displaystyle \frac{i}{2}}$ 和 ${\displaystyle \frac{j}{2}}$，不大于 $2i$ 和 $2j$ 的最优的三等奖人数”。也就是 $O(1)$ 找到一个最优的决策点使得当前点和前一个点的差最大，且当前点的下标在一个确定的范围 $[l,r]$ 内。

首先，这是一个 $\text{rmq}$ 问题，考虑 $\text{st}$ 表，把所有的 $a(i)-a(i-1),i$ 加入 $\text{st}$ 表中，然后 $O(n\log n)\sim O(1)$ $\text{rmq}$求出 $[l,r]$ 范围内使 $a_i-a_{i-1}$ 最小的 $i$，从而进行转移。这是比较暴力的做法。 $\text{Best Code}$ $\text{by irkstepanov}$

但是我们可以有更优秀的做法。我们发现 $[l,r]$ 的上下界是单调的，也就是随着 $j$ 的增长，下界和上界都在单调的增长。这就提示我们使用单调队列优化。

我们可以把所有在界中的决策点丢进单调队列，每次随着j的增长，单调队列头部 $\text{pop}$ 尾部 $\text{push}$，也可以 $O(1)$ 的找到最优的决策点。$\text{Best Code}$ $\text{by LHiC}$