欧拉五边形定理的欧拉证明

欧拉五边形定理的内容：

\[\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}} \]

我们介绍欧拉的证明方法。

\[(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{n-1})-a_n(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{n-1}) \]

我们再对前面的这个进行展开

\[(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{n-2})-a_{n-1}(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{n-2})-a_n(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{n-1}) \]

最终，我们把前 \(n\) 项全部展开

\[(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=1-a_1-a_2(1-a_1)-a_3(1-a_1)(1-a_2)\cdots -a_n(1-a_1)(1-a_2)\cdots(1-a_{n-1}) \]

得到一般形式。然后，我们令 \(a_k=x^k\)。因为我们可以对于任意的 \(N\) 都只考虑左边 \((1-x^{N+1})\)之前的项和右边 \(x^{N+1}(\cdots)\) 之前的项。所以此公式可以推向到无穷项。即

\[(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)\cdots=1-x-x^2(1-x)\cdots-x^n(1-x)\cdots(1-x^{n-1})-\cdots \]

然后我们令 \(P_0=(1-x)(1-x^2)\cdots(1-x^n)\)，把 \(x^2\) 以后的项提出 \(-x^2\) 令为 \(P_1\)

\[P_1=1-x+x(1-x^2)\cdots+x^n(1-x)\cdots(1-x^{n+1})+\cdots \]

从定义得到 \(P_0=1-x-x^2P_1\)

然后，定义 \(Q_k=x^k(1-x)(1-x^2)\cdots (1-x^{k+1})\)

则 \(P_1=Q_0+Q_1+Q_2+\cdots +Q_n+\cdots\)

然后定义 \(A_k=x^k(1-x^2)(1-x^3)\cdots(1-x^{k+1})\)

定义 \(B_k=x^{k+1}(1-x^2)(1-x^3)\cdots(1-x^{k+1})\)

从而有 \(Q_k=A_k-B_k\)

所以 \(P_1=A_0-B_0+A_1-B_1+\cdots +A_n-B_n+\cdots\)

我们发现我们可以裂项，因为

\[A_k-B_{k-1}=(1-x^{k+1}-1)B_{k-1}=-x^{2k+1}(1-x^2)\cdots(1-x^{k}) \]

我们令 \(C_k=(1-x^2)\cdots (1-x^{k+2})\)

则 \(A_k-B_{k-1}=-x^{2k+1}C_{k-2}\)

则得到裂项结果

\(P_1=A_0-B_0+A_1+(-B_1+A_2)+(-B_2+A_3)+\cdots +(-B_{k-1}+A_k)+\cdots\)

即 \(P_1=1-x+x(1-x^2)-x^5C_0-x^7C_1-\cdots-x^{2k+5}C_k-\cdots\)

我们进行相似的操作，把 \(x^5\) 之后的项的 \(-x^5\) 提出来令为 \(P_2\)

则 \(P_2=C_0+x^2C_1+x^4C_2+\cdots+x^{2k}C_k+\cdots\)

同时 \(P_1=1-x^3-x^5P_2\)

这启示我们可以尝试进行归纳。

我们定义 \(P_n=1-x^n+x^n(1-x^n)(1-x^{n+1})+x^{2n}(1-x^n)(1-x^{n+2})+\cdots\)

那么我们令 \(Q_k=x^{nk}(1-x^n)(1-x^{n+1})\cdots (1-x^{n+k})\)

相似的，\(A_k=x^{nk}(1-x^{n+1})\cdots (1-x^{n+k})\)

以及 \(B_k=x^{n(k+1)}(1-x^{n+1})\cdots (1-x^{n+k})\)

则 \(Q_k=A_k-B_k\)

考虑 \(A_k-B_{k-1}=x^{nk}(1-x^{n+1})\cdots(1-x^{n+k-1})(1-x^{n+k}-1)\)

令 \(C_k=(1-x^{n+1})\cdots(1-x^{n+k+1})\)

则 \(A_k-B_{k-1}=x^{nk+n+k}C_{k-2}\)

因为 \(nk+k+n=(n+1)(k-2)+3n+2\)

\[P_n=A_0-B_0+A_1-x^{3n+2}(C_0+x^{n+1}C_1+x^{2(n+1)}C_2+\cdots) \]

我们发现 \(A_0-B_0+A_1=1-x^n+x^n(1-x^{n+1})=1-x^{2n+1}\)

展开后面的部分中的 \(C\) 得到

\[1-x^{n+1}+x^{n+1}(1-x^{n+1})(1-x^{n+2})+x^{2(n+1)}(1-x^{n+1})(1-x^{n+2})(1-x^{n+3})+\cdots \]

这恰好就是 \(P_{n+1}\) 的定义。

所以，\(P_n=1-x^{2n+1}-x^{3n+2}P_{n+1}\)

尝试展开这个递推式，因为都是乘法，我们可以直接把 \(x\) 的幂次转化成指数的加法。我们发现第 \(n\) 层的负的 \(2n+1\) 和正的 \(0\) 在最终展开式中会加上所有 \(m\le n\) 的形如 \(3m-1\) 的数。

也就是 \(2+5+\cdots+(3n-1)=3(\sum_{k\le n}{n})-n=\dfrac{3n(n+1)}{2}-n=\dfrac{3n^2+n}{2}\)

而负的 \(2n+1\) 一路下去就会变成 \(-(-1)^n\) 的 \(\dfrac{3n^2+n+4n+2}{2}\)。如果我们用 \(m=n+1\)，就是 \((-1)^mx^{m(3m-1)/2}\)，凑齐了所有的 \(-\) 形式的项。

正的 \(0\) 一路下去就是满足形式的 \((-1)^nx^{n(3n+1)/2}\)，凑齐了所有 \(+\) 形式的项。

两者相加，得到 \(\prod_{n\ge 1}{(1-x^n)}=\sum_{n\ge 0}{(-1)^n x^{n(3n\pm 1)/2}}\)

证毕