组合数学 - 随笔分类 - jucason_xu

摘要：ABC313，逆天为了 ABC313G，来学一下最简单形式的类欧算法。类欧几里得算法似乎和欧几里得唯一的共性是复杂度证明。形式化的，我们需要计算

f (a, b, c, n) = \sum_{i = 0}^{n} ⌊ \frac{a i + b}{c} ⌋

。首先，如果

a \geq c

或者阅读全文

posted @ 2023-08-06 15:43 jucason_xu 阅读(33) 评论(1) 推荐(0) 编辑

0801数论

摘要：#### GCD & exGCD 首先我们考虑辗转相除法的过程，因为

(a, b) = (b mod a, a) (0 < a < b)

，

(0, b) = b

，所以我们就可以每次将

b

转化为严格更小的

b

的问题。归纳则得到答案。现在我们考虑扩欧的过程，我们需要对

a x + b y = 1

找到一组解。那阅读全文

posted @ 2023-08-01 23:24 jucason_xu 阅读(19) 评论(1) 推荐(0) 编辑

组合数学课程笔记（？）：图的匹配

摘要：### 二分图匹配和霍尔定理 #### 相异代表系我们用一个相异代表系描述二分图匹配问题。我们有若干个集合

{S_{1}, S_{2}, S_{3}, \dots, S_{m}}

，现在要给每个集合选定一个代表

x_{i} \in S_{i}

，并且每个

x_{i}

是相异的。容易发现这个问题和二分图匹配问题是等价的。阅读全文

posted @ 2023-06-02 14:08 jucason_xu 阅读(152) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1591F - Non-equal Neighbours

摘要：My solution 首先，我们考虑最暴力的

d p

，设

d p_{i, j}

表示当前处理到第

i

位，目前序列尾部是

j

的方案数。这个

d p

的转移是很容易的。

d p_{i, j} = \sum_{k = 1}^{a_{i - 1}} [k \neq j] d p_{i - 1, k}

。但是复杂度也是很阅读全文

posted @ 2023-05-07 19:20 jucason_xu 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

反演

摘要：反演就是对于两个整数函数

f

和

g

，从用

g

表示

f

转化为用

f

表示

g

。简而言之，

f (n)

是

g (0), g (1), \dots, g (n)

的一个线性组合，那么很明显，有

f (n) = \sum_{i = 0}^{n} a_{n, i} g (i)

。如果把 $g(i), 阅读全文

posted @ 2023-04-25 20:34 jucason_xu 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1821F - Timber

摘要：

逐 渐 变 成 自 己 最 讨 厌 的 样 子

首先考虑

d p

，设

d p_{i, j}

表示当前放了

i

个树，目前不得不覆盖到的最右点为

j

，每放一棵树，如果能往左就往左，否则往右倒。

GF

首先考虑

d p_{i, j}

的转移。第一种，在

[j + 1, j + k]

放一个树，阅读全文

posted @ 2023-04-25 16:00 jucason_xu 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学课程笔记（四）：容斥原理

摘要：

一 切 繁 复 都 洗 涤 ， 却 染 上 重 叠 的 星

容斥原理是容斥原理的基本公式。但是我们并不经常的使用这个公式本身，我们一般使用这个公式的推论：具体的理解这个式子，就是在全集

U

中，我们有若干个子集

A_{i}

，其中的元素是坏的。现在我们需要找到不被任何子集包含的元素个数。容斥阅读全文

posted @ 2023-03-24 20:17 jucason_xu 阅读(236) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合数学课程笔记（三）：生成函数

摘要：序离散和连续的不期而遇，抽象与数分的阴阳交融。我将以加与乘的生铁铸就组合的奇迹，这世间都要把你的伟岸与光辉所传颂。

Generating Function

生成函数所蕴含的思想生成函数的主要思想是用简单的加法乘法运算，组合出强大的复杂的数列。你会惊讶于这些简单的阅读全文

posted @ 2023-03-10 14:19 jucason_xu 阅读(202) 评论(1) 推荐(1) 编辑

CF1799G - Count Voting

摘要：我们考虑按照将所有的人分成若干个等价类，然后整组整组的考虑。我们考虑使用生成函数来解决这个问题，设

x_{i}

是第

i

组得票的生成变量，生成函数的项

x_{1}^{k_{1}} x_{2}^{k_{2}} \dots x_{n}^{k_{n}}

表示第

i

组得票

k_{i}

的方案种数，

f_{i}

是第阅读全文

posted @ 2023-02-28 21:30 jucason_xu 阅读(67) 评论(0) 推荐(0) 编辑

组合计数课程笔记（二）：十二重计数法（初等计数）

摘要：组合计数问题是组合数学中重要的最古典的分支。有人将组合计数问题归为

12

个集合映射问题。但是其中有

2

个是平凡的，所以我们只研究

10

个。十二重计数法在数学上，严谨的定义是“从一个集合对另一个集合的映射的个数”。但是我们可以用更简单的方法定义它：把

n

个苹果装进

m

阅读全文

posted @ 2023-02-17 15:18 jucason_xu 阅读(402) 评论(0) 推荐(1) 编辑

组合数学课程笔记（一）：框架构建

摘要：组合数学的严格定义是非常困难的，其设计的内容广泛，分类困难，体系性较弱。不过，我们可以把组合数学按照问题、工具、对象三种方法进行分类，例如图论，就是按照研究对象分出的内容。而别的分支，例如代数组合学，就是对一系列的代数对象，如生成函数、反演等进行研究。我们认为最科学的分类方法是根据组合数学所解决阅读全文

posted @ 2023-02-17 13:48 jucason_xu 阅读(149) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉五边形定理的高斯证明

摘要：欧拉五边形定理的内容：

\prod_{n \geq 1} (1 - x^{n}) = \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} x^{n (3 n \pm 1) / 2}

我们来介绍高斯的证法考虑下面这个无穷积 $$F(z)=(1+x^1z)(1+x^1z^{-1})(1+x^3z)(1+x^3z^{-1})\ 阅读全文

posted @ 2023-02-16 20:09 jucason_xu 阅读(50) 评论(0) 推荐(1) 编辑

普通生成函数学习笔记

摘要：现在我们考虑有一个序列

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}, \dots)

。我们将这个序列作为形式幂级数

A (x) = \sum_{n \geq 0} a_{n} x^{n}

的常数项序列。

A (x)

就是序列

a_{i}

的生成函数。在生成函数中，类似形式幂级数，

x

的具体取值是阅读全文

posted @ 2023-02-16 18:48 jucason_xu 阅读(34) 评论(0) 推荐(0) 编辑

欧拉五边形定理的欧拉证明

摘要：欧拉五边形定理的内容：

\prod_{n \geq 1} (1 - x^{n}) = \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} x^{n (3 n \pm 1) / 2}

我们介绍欧拉的证明方法。 $$(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_n)=(1-a_1)(1-a_2)\cdots (1-a_{ 阅读全文

posted @ 2023-02-16 18:48 jucason_xu 阅读(143) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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