五、图——图的应用

最小生成树

　　1.定义

　　权值和最小的生成树，极小连通子图，包含所有的顶点，尽可能少的边，多一条边就会构成回路，少一条边就会不连通。

　　2.求法

　　求最小生成树必须解决如下问题：

　　1）尽可能选取权值最小的边，并且不构成回路

　　2）尽可能使 n 个顶点连接 n - 1 条边连通　　

　　常见方法有：Prim算法和 Kruskal 算法，他们都是典型的贪心算法

　　3.典型算法

• Prim算法

　　过程：始终以顶点为主导，将顶点分为 A 类和 B类，A类是加入最小生成树的顶点，B类是剩下的顶点。初始化的时候，A = {} ，B = {全部}。任意选择一个顶点开始，从起始点开始选择权值最小的边，将这条边和顶点加入最小生成树；然后以加入的顶点再找最小权值的边，跳过已经用过的和成为回路的边，直到所有的顶点。

　    适用于：边稠密的，时间复杂度为 O (顶点的平方)

• kruskal算法

　　不断选取权值最下的边，并且判断加入之后不构成回路。

　　适用于：顶点稠密但是边稀疏的图

　　时间复杂度：用堆来存储边的集合，每次选取最小权值的边是 O （log|E|）,时间复杂度是 O (E log|E|)　　

　　4.应用场景

　　几个城市（图1）之间怎么修路，可以使整体上代价最小？

最短路径

　　对于无向图来说，BFS可以查找到 非带权的单源最短路径，这是因为 BFS 总是按照距离由近到远来遍历图中顶点。

　　对于有向权值图

　　迪杰斯特拉算法（非负权值，单源最短路径）

　　逐步将顶点纳入已求得最短路径的顶点。

　　时间复杂度：O (|v|²)

　　Floyd算法求各顶点之间最短路径问题（每一对点之间的最短路径，允许权值为负的边，但是不允许包含带负权值的边组成的回路）

　　n阶方阵；A^-1，A⁰......逐步加入顶点。

　　A^k [ i ][ j ]表示从顶点 Vi 到顶点 Vj的路径长度，k表示绕行第 K 个顶点的运算步骤。　

拓扑排序　　

　　有向无环图，反映活动的前驱和后继关系的。

关键路径

　　顶点表示事件，边表示活动，边上的权值表示活动开销。

　　具有的性质：1）某个顶点，入这个顶点的边代表的活动都发生了，它才可以发生。

　　　　　　　　2）这个顶点的事件发生后，以这个顶点出发的有向边代表的活动才可以发生。

　　关键路径：从源点到汇点的最长路径的长度，但是它其实是完成工程的最短时间。

　　求关键路径的步骤：

　　1）事件Vk最早发生的时间Ve(k)

　　2)   事件最晚发生时间 Vl(k)

　　3）活动的最早开始时间 e(i)

　　4）活动的最晚开始时间 l(i)

　　5)  d(i) = l (i) - e (i)，余量为0，说明活动必须要如期完成，否则会拖延整个工程的进度，它的拖延会拖延整个工程的进度