放苹果
转自谋神http://www.cnblogs.com/celia01/archive/2012/02/19/2358673.html
苹果放入盘子问题
【1】 M相同，N相同，可以为空；（poj 1664）
f(m-n,n)：每个盘子都有苹果
f(m,n-1)：至少有一个盘子没有苹果
或者用数组实现递归也可以：
f[m][n] = f[m-n][n]+f[m][n-1]，其中f[][1],f[][0],f[1][],f[0][] 都为1。
即：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];
= 1 // m== 0 || n == 1
= 0 // m < 0
int dfs(int m, int n){ //中直接输出dfs（M，N）；
if (m<0)
return 0;
if (n==1||m==0)
return 1;
return dfs(m-n,n)+dfs(m,n-1);
}
【2】M相同，N相同，不可为空：
可以先把每个都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题【1】
【3】M相同，N不同，可为空：（hdu 4390）
盘子是不一样的，相当于m+n个位置放n个盘子，而且最后一个位置必须是盘子。这样，每个盘子之前有几个空位，就是有几个苹果，于是= C( m+n-1 , n-1 )
【4】M相同，N不同，不可为空：
在问题【3】中之所以转换为m+n是因为，m可能大于n，这里不可为空，自然m≥n了，可采用隔板法，在相同的m之间去隔板，而且最后一个苹果后放置一块板子，并且第一个苹果前不能放置板子，即在m-1个空隙中设置n-1个隔板，所以为C( m-1 , n-1 )
【5】M不同，N相同，可为空：
sigma S(n,i) i=1..r //即总数
【6】M不同，N相同，不可为空：
S(n,r)
【7】M相同，N不同，不可为空：
r!*S(n,r)
【8】M不同，N不同，可为空：
共N^M种。每个苹果都有N中不同的选择，共M个苹果
以下是证明和解释
问题１：
m----->相同， n---> 相同,可为空
将m个苹果放进n个盘子中，盘子允许空，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。
思路：
其实这跟将一个整数m分成n个整数之和是类似的，
设f[m][n]为将m分成最多n份的方案数，且其中的方案不重复，每个方案前一个份的值一定不会比后面的大。
则有：f[m][n] = f[m][n - 1] + f[m - n][n];
= 1 // m== 0 || n == 1
= 0 // m < 0
f[m][n - 1]相当于第一盘子中为0，只用将数分成n - 1份即可。
因为0不会大于任何数，相当于f[m][n - 1]中的方案前面加一个为0的盘子，
而且不违背f的定义。所以f[m][n - 1]一定是f[m][n]的方案的一部分，即含有0的方案数。
f[m - n][n]相当于在每个盘子中加一个数1。因为每个盘子中加一个数1不会影响f[m][n - 1]中的方案的可行性，也不会影响f的定义。
所以f[m - n][n]一定是f[m][n]的方案的一部分，即不含有0的方案数。
问题2:
问题描述：将整数N分成K个整数的和 且每个数大于等于A
小于等于B 求有多少种分法
int Dynamics(int n, int k, int min) //将n分为k个整数 最小的大于等于min,最大不超过B
{
if(n < min) return 0;//当剩下的 比min小,则不符合要求 返回0
if(k == 1) return 1;
int sum = 0;
for(int t = min; t <= B; t++)
{
sum += Dynamics(n-t, k-1, t);
}
return sum;
}
问题3：
m----->相同， n---> 相同,不能为空
将m个苹果放进n个盘子中，有多少种方法。同时注意例如1、2和2、1这两种方案是一种方案。
思路：
先把每个都放一个苹果，这样问题就转化为：m-n个苹果放进n个盘子里，盘子允许空，即问题１
问题4：
第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是包含n个元素的集合分作k个环排列的方法数目。
递推公式为，
S(n,0) = 0, S(1,1) = 1.
S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。
n个元素的集合分作k个环排列的方法是s(n,k)，那么
1.可由前n-1个元素k-1个环的s(n-1,k-1); 即最后一个元素为单环，前n-1个构成k-1环；
2.第n个元素一定不是单环，可以由n-1个元素k个环，把第n个数任意的放入一个环中组成新环！即得到n个
元素的集合分作k个环，假设n个元素的集合分作k个环，那么由于n,不在单环中，那么可以把n所在的环中把n
剔除，即得到了n-1个元素，k个环，即充分与必要性都得证！
因而：S(n,k) = S(n-1,k-1) + (n-1)S(n-1,k)。得证！
问题5：
第二类Stirling数是把包含n个元素的集合划分为正好k个非空子集的方法的数目。
//n－>有区别，K－>非空,没区别
递推公式为，
S(n,n) = S(n,1) = 1,
S(n,k) = S(n-1,k-1) + kS(n-1,k).
上面的递推式可以用组合证明：
一方面，如果将第n个元素单独拿出来划分成1个集合，那么方法数是S(n-1,k-1)；
另一方面，如果第n个元素所在的集合不止一个元素，那么可以先将剩下的n-1个元素划分好了以后再选一个集合把第n个元素放进去，方法数是k*S(n-1,k)；
有加法原理得证
问题6：
Bell数和Stirling数
B(n)是包含n个元素的集合的划分方法的数目。
集合的划分：非空，
B(0) = 1, B(1) = 1,
B(n) = Sum(1,n) S(n,k).其中Sum(1,n)表示对k从1到n求和，s是第二类stirling数
问题7：
当Ｋ是有区别的时候，则一般都要在没有区别的基础上乘以K的全排列。
