三角范数的构造 T-norm 和三角余范数 T-conorm
Fuzzy set theory
crossover point
令模糊集\(A\)具有隶属函数\(\mu_{A}(x)\),该隶属函数定义域\(U\)。\(A\)的交叉点定义为
\(\alpha\)-cut
令模糊集\(A\)具有隶属度函数\(\mu_{A}(x)\),\(\mu_{A}(x)\)的定义域为\(U\)。则\(A\)的\(\alpha\)-cut定义为
其中\(\alpha\)-cut定义为\(\alpha \in [0,1]\)
投影projection
令模糊集\(A\)具有隶属函数\(\mu_{A}(x)\),\(\mu_{A}(x)\)的定义域\(U\)为\(R^{n}\)的子集,亦即\(x=(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})\in R^{n}\)。这里\(x\)为n-dim的vector,向量。
\(x_{1}=0\)代表\(x_{2},x_{3}\ldots x_{n}\)的子空间
\(A\)在\(S_{1}\)的投影为
这里\(x_{1}\)为free variable。\(sup(A)\) denotes the support of fuzzy set \(A\):
Cartesian Product
两个集合\(U\)和\(V\)形成:
其中\((u,v)\)是有序对
若\(U\neq V\),则\(U\times V \neq V\times U\)
若\(U=V\),则\(V\times V = V^{2}\)
例如
\(U=\{ 1,2,3\}, V=\{ 4,5\}\)则
\(U\times V =\{ (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \}\)
A variable can take words as its values. We call this variable as a linguistic variable.
- Words大致引用自然语言。
- Words必须具有可被运算性或可被判断的数学模式,主要是可以以模糊集形式呈现出来。
Temperature is high. Temperature is linguistic variable. high is a fuzzy set.
语言变量的正式定义
\((X,T,U,M)\)
\(X\)linguistic variable 的名称集合
\(T\)linguistic variable 可以选取的linguistic value 之集合。
\(U\) actual physical doman
\(M\)描绘\(T\)linguistic variable对应的模糊函数的语义规则
模糊命题一般有两种
原型模糊命题(atomic fuzzy propositions)
x is A.
合成模糊命题(compound fuzzy propositions)
\(x_{1}\) is \(A_{1}\) and \(x_{2}\) is \(A_{2}\) or \(x_{3}\) is \(A_{3}\)
Convolution
Logic (s-t composition) of convolution
Pooling
t-conorms
三角范数构造
参考 --‘’三角范数构造‘’ 薛占军,刘三阳,西北大学学报2009.4.39卷2期
三角范数是取值于[0,1]的二元函数,因此三角范数在概率度量空间、决策论、统计学、博弈、函数方程等领域有这重要的应用价值。
定义1 -- 设\(T:[0,1]^2 \rightarrow[0,1]\)是[0,1]上的二元运算,若对任意