c++ day 8

今天终于来学习时间复杂度了

当分析算法的时间复杂度时，我们通常关注以下几个方面来确定算法的执行时间：

1. 循环次数：循环是算法中常见的结构，它会重复执行一段代码。时间复杂度取决于循环的次数。例如，一个循环从1到n的遍历，时间复杂度就是O(n)。

2. 嵌套循环：如果算法中存在多个嵌套循环，我们需要考虑每个循环的迭代次数。例如，一个包含两个嵌套循环的算法，外层循环迭代n次，内层循环迭代m次，那么总的时间复杂度就是O(n * m)。

3. 递归调用：递归算法通过自身的调用来解决问题。递归的时间复杂度取决于递归调用的次数以及每次递归的规模。例如，二分查找算法的时间复杂度为O(log n)，其中n是输入规模。

4. 条件判断和分支：条件判断语句（如if语句）的执行次数会影响算法的时间复杂度。例如，如果一个算法的执行路径取决于输入数据的特定情况，我们需要考虑每个条件判断的执行次数。

5. 数据结构操作：算法中的数据结构操作，如插入、删除、查找等，对算法的时间复杂度产生影响。不同的数据结构具有不同的操作复杂度。例如，在一个数组中查找特定元素的时间复杂度为O(n)，而在一个二叉搜索树中查找的时间复杂度为O(log n)。

说实话 感觉不好去理解

下面我将会从几个例子去理解

一个常见的例子是计算数组中所有元素的和。假设有一个包含n个整数的数组，我们的目标是计算出这些整数的总和。

下面我将展示两种算法的例子，并解释它们的时间复杂度。

1. 算法一：迭代求和

int sum = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    sum += arr[i];
}

这个算法使用一个循环遍历数组中的每个元素，并将它们相加得到最终的总和。在这种情况下，循环的次数与数组的大小n相等，因此循环的时间复杂度是O(n)。这是一种线性时间复杂度。

2. 算法二：递归求和

int sumArray(int arr[], int start, int end) {
    if (start == end) {
        return arr[start];
    } else {
        int mid = (start + end) / 2;
        int leftSum = sumArray(arr, start, mid);
        int rightSum = sumArray(arr, mid + 1, end);
        return leftSum + rightSum;
    }
}

int sum = sumArray(arr, 0, n - 1);

这个算法使用递归来分治地计算数组的总和。它将数组划分为两半，并递归地计算每个子数组的总和，然后将它们相加得到最终结果。在这个算法中，每次递归调用都将数组的规模减半，因此递归的时间复杂度是O(log n)。这是一种对数时间复杂度。

通过比较这两个算法，我们可以看到第一个算法具有线性时间复杂度O(n)，而第二个算法具有对数时间复杂度O(log n)。因此，第二个算法在处理大型输入时比第一个算法更高效。

下一个例子是

二分查找：假设有一个已排序的数组，我们要在其中查找特定的元素。二分查找是一种高效的算法，其时间复杂度为O(log n)。

int binarySearch(int arr[], int target, int left, int right) {
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (arr[mid] == target) {
            return mid;
        } else if (arr[mid] < target) {
            left = mid + 1;
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return -1;
}

在每次迭代中，二分查找将搜索范围减半，直到找到目标元素或确定目标元素不存在。因此，它的时间复杂度为O(log n)，其中n是数组的大小。
冒泡排序：冒泡排序是一种简单但效率较低的排序算法。它的时间复杂度为O(n^2)。

void bubbleSort(int arr[], int n) {
    for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
        for (int j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            if (arr[j] > arr[j + 1]) {
                // 交换相邻元素
                int temp = arr[j];
                arr[j] = arr[j + 1];
                arr[j + 1] = temp;
            }
        }
    }
}

冒泡排序通过多次遍历数组，比较相邻元素并交换它们的位置来实现排序。在最坏的情况下，每个元素都需要与其他元素比较和交换，因此它的时间复杂度为O(n^2)。