由赌徒谬误想到的

赌徒谬误是这么说的：有一个赌徒，连续抛10次硬币，前9次都是正面朝上，于是赌徒认定第10次反面朝上的概率大于1/2。之所以说这是一个谬误，想必大家都知道，正确答案是1/2。

当时在学概率论的时候，这个问题就深深困扰着我，因为这不符合大数定律：随着实验次数的增多，实验结果的频率应当向它们的理论概率靠近。也就是说：如果第10次仍然是正面朝上，那么正面朝上的频率就变成1，而反面朝上的概率就变成了0；而如果第10次是反面朝上，那么正面朝上的频率就变成9/10，而反面朝上的概率就变成了1/10；显然，如果是反面朝上，它向着理论概率1/2靠近了，符合大数定律的，而第10次是正面朝上是不符合大数定律的。于是，正确答案和大数定律之间似乎出现了矛盾。

有人给出了解释：两次抛硬币的结果是相互独立的，前一次抛的结果和后一次之间没有任何联系，所以第10次正面向上和反面向上的概率仍然都是1/2。这个回答看似合情合理，我却不能昧着良心欺骗自己，因为这个解释并没有正面回答到底大数定律的那个解释错在哪了，只是相当于用排除法证明了大数定律的那个解释是错的。

经过一番仔细思考，我似乎反现了一点东西：两次抛硬币的结果是相互独立的，这个独立到底是什么意思？先看看教科书上的定义：如果P(A B) =P(A) P(B)，称A,B 相互独立。这里，如果记前一次抛硬币的结果是A，后一次抛硬币的结果是B，那么确实是P(A B) =P(A) P(B)，因为连抛两次硬币的结果：正正、正反、反正、反反的概率都是1/4。显然，A，B是相互独立的。那么问题来了：既然是相互独立的事件，结果完全不相关的两件事，其统计意义上的结果为什么要符合正态分布（如果抛的次数足够多的话）？冥冥之中似乎有什么东西在联系着这两件事，它们之间真的是我们所说的独立吗？

其实，正是相互独立造就了统计意义上的分布，这是一个因果关系，而不是因为统计结果符合某种分布使得两件事不是相互独立的（这纯粹是想多了）。真正的问题出在：用大数定律去预测一件事，得出的结果是我们所说的先验概率，也就是我们在不知道任何前提条件下做出的预测。而我们知道了前9次的统计结果，去预测第10次抛硬币的概率，是后验概率（也叫条件概率）。比方说，袋子里面有一个红球一个白球。现在随机取出一个，显然摸到红球的概率是1/2。如果现在第一次已经摸到一个白球了，问第二次摸到红球的概率是多少？显然结果是1。这就是我们所说的先验概率和后验概率的差别，知道的条件不同，预测的结果必然也是有区别的。如果在不知道前9次抛硬币结果的前提下，我们是可以用大数定律预测整个10次抛硬币的结果的统计值的，但一旦知道了前9次抛的结果，大数定律就不适用了，它只能用来预测从第10次开始，第11次，第12次...以后所抛的结果的统计值。相应地，这里如果我们以后验概率来计算第10次抛硬币的结果：记前9次抛的结果全部是正面事件为A，第10次抛的结果是正面朝上事件为B，则P(B/A)=P(AB)/P(A)=(1/2)^10/(1/2)^9=1/2。所以，从后验概率的角度来解释这个问题才是正确的。