算法学习记录-排序——堆排序

堆排序

 

问题提出：

　　前面写过 简单选择排序 讲过，要找出n个数据中最小的值，那么需要比较n-1次。仔细想想，比较第一趟的时候，第一个哨兵下标元素

与每一个元素比较，如果哨兵元素不是最小的，那么会发生交换，记交换后的元素下标为swap。继续比较第二趟 到 第n趟时候，每一趟都

会有元素与swap下标元素比较，但是这个比较之前就已经比较了，只是没有保存下来。能不能通过方法能够记录这些比较，使其重复比较的

次数减少？

　　堆排序就是对简单选择排序的一种改进，通过一种数据结构来保存比较之后的元素关系，在大量数据比较时候，效率非常高。

　

　

堆具有的性质：

n个元素序列｛k1,k2,k3,...,kn｝满足如下关系：

  • ki ≤ k2i 且 ki ≤ k2i+1     此为：小顶堆

或者 

  • ki ≥ k2i 且 ki ≥ k2i+1     此为：大顶堆

　　　　（i=1，2，。。。，【n/2】取不大于该值的整数）

　　　　　　　　　　

　　若将和此序列对应的一维数组（以一维数组存储）看成是一个完全二叉树，则堆的含义表明，

完全二叉树中所有非终端结点的值均不大于（或不小于）其左、右孩子的结点值。

可以推出：堆顶元素一定是序列中最大（最小）的值。

 

 

堆如何排序？

以升序排列和大顶堆为例，

（1）根据堆的性质，堆中最大的元素在堆顶。那么将无序堆中的堆顶元素与堆的最后一个元素交换，原先无序堆中的堆顶交换到无序集合最后一个位置上，该元素归为有序集合。

　　（无序堆少一个元素，有序集合多一个元素）

（2）交换元素后，无序新堆（比之前少一个元素）重新按堆的性质构建新堆。调整完成后，其最大的元素就排在了新堆的堆顶了。

（3）重复（1）（2）。直到未排序的堆中没有元素。最后产生有序集合。 

 

 其基本思想为(大顶堆)：

    1)将初始待排序关键字序列(R1,R2....Rn)构建成大顶堆，此堆为初始的无须区；

    2)将堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，此时得到新的无序区(R1,R2,......Rn-1)和新的有序区(Rn),且满足R[1,2...n-1]<=R[n]; 

    3)由于交换后新的堆顶R[1]可能违反堆的性质，因此需要对当前无序区(R1,R2,......Rn-1)调整为新堆，然后再次将R[1]与无序区最 后一个元素交换，得到新的无序区(R1,R2....Rn-2)和新的有序区(Rn-1,Rn)。不断重复此过程直到有序区的元素个数为n-1，则整个排 序过程完成。

 

 

如何构建堆：

　　为了能够减少选择排序中重复比较次数，就需要构建一个这样的堆，堆的结构就能够决定堆中元素大小关系，

省去了反复比较的次数。

  • 所以构建堆是一个重要的过程。（a）
  • 移除堆顶后，重新构造新堆也是一个重要的操作。（b）

所以 ab 是堆排序的基本操作。

　　多思考一下，可以看到a是构建堆的过程，其实质是将无序的堆调整为满足堆性质的过程，与b过程相同。所以ab可以合并为同一个过程。

 

构建堆（调整堆）：

 

原始图像

 

 

一维数组是真实的存储结构

完全二叉树结构则是我们构想的结构。

 

  • 调整堆过程

 

 

最后我们得到调整好的堆叫初始化堆。之后我们基于这个基础来调整

 

  • 堆排序过程：

 

 

 三条图像分别显示了最大三个数出堆过程。后面过程以此类推。

基本步骤就是：1.交换——2.入有序队列——3.调整新堆

 

代码：

 

  1 #include "stdafx.h"
  2 
  3 
  4 typedef int myDataType;
  5 myDataType src_ary[10] = {9,1,5,8,3,7,6,0,2,4};
  6 
  7 void prt_ary(myDataType *ary,int len)
  8 {
  9     int i=0;
 10     while(i < len)
 11     {
 12         printf(" %d ",ary[i++]);
 13     }
 14     printf("\n");
 15 }
 16 
 17 void prev_process_ary(myDataType *ary,int len)
 18 {
 19     
 20     int i;
 21     len = len+1;
 22     for (i=len-1;i>=0;i--)
 23     {
 24         ary[i] = ary[i-1];
 25     }
 26     ary[0]=0;
 27 }
 28 void retn_process_ary(myDataType *ary,int len)
 29 {
 30     int i;
 31     for (i=0;i<len;i++)
 32     {
 33         ary[i] = ary[i+1];
 34     }
 35 }
 36 
 37 //堆调整——对于堆的调整，我们需要知道参数 ： 
 38 //1.调整子树的根结点
 39 //2.树的最后一个叶子节点
 40 void HeapAdjust(myDataType *ary,int Idx,int eIdx)
 41 {
 42     int lchdIdx = 2*Idx;        //左孩子结点的序号
 43     int rchdIdx = lchdIdx+1;    //右孩子结点的序号
 44     
 45 
 46     int i;//i是指向左或者右孩子的序号
 47 
 48     int crntVal = ary[Idx];
 49 
 50     //从将要调整点的孩子孩子节点开始,每次沿着被调整的孩子子树调整
 51     for (i = lchdIdx;i <= eIdx ; i = i*2 )
 52     {
 53         //判断 当前指向点 的左孩子和右孩子大小，取值大的
 54         if (i < eIdx && ary[lchdIdx] < ary[rchdIdx])
 55         {
 56             i=rchdIdx;//如果是右孩子大，则孩子下标为右孩子
 57         }
 58         //如果要调整的子树的根结点大于左右孩子，则不用调整
 59         if (crntVal > ary[i])
 60         {
 61             break;
 62         }
 63 
 64         ary[Idx] = ary[i];
 65 
 66         Idx = i;
 67         lchdIdx = 2*Idx;
 68         rchdIdx = lchdIdx+1;
 69     }
 70     //Idx 为 最后调整到的结点序号，把调整的值 调整到这个序号结点
 71     ary[Idx] = crntVal;
 72 }
 73 
 74 void HeapSort(myDataType *ary,int len)
 75 {
 76     int i;
 77     int endIdx = len+1;
 78     for (i=1 ; i < endIdx ; i++)
 79     {
 80         int temp = ary[1];
 81         ary[1] = ary[endIdx-i];
 82         ary[endIdx-i] = temp;
 83 
 84         HeapAdjust(ary,1,endIdx-i-1);
 85     }
 86 }
 87 
 88 void heapSort(myDataType *ary,int len)
 89 {
 90     int i;
 91 //    printf("prev_process_array:\n");
 92     prev_process_ary(ary,len);//调整数组，全部右移。这里做实验用，如果是对于很多数组，这样的操作很浪费时间，
 93                                 //就要对HeapSort的序号改进下。避免这样的移位。
 94 //    prt_ary(ary,len+1);
 95 
 96     //建立一个大顶堆
 97     for (i= len/2;i>0;i--)
 98     {
 99         HeapAdjust(ary,i,len);
100     }
101     //真正的堆排序
102     HeapSort(ary,len);
103 
104 //    printf("retn_process_array\n");
105     retn_process_ary(ary,len);
106 //    prt_ary(ary,len);
107 
108 }
109 
110 int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
111 {
112     printf("before sort:\n");
113     prt_ary(src_ary,10);
114 
115     heapSort(src_ary,10);
116     
117     printf("after sort:\n");
118     prt_ary(src_ary,10);
119 
120 
121 
122     getchar();
123     return 0;
124 }


测试结果：

 

补充：对于调整还可以使用 递归的方法，可能更容易理解。

每次对一个点进行调整时候，如果它比孩子小，则和孩子交换，这个时候我们会出现新的子树（以交换的孩子为根），

继续对这样的子树进行新的调整。这就构成了一个递归调用。

把之前的HeapAdjust函数修改一下就可以了

 1 void HeapAdjust_R(myDataType *ary,int Idx,int eIdx)
 2 {
 3     int lchdIdx = 2*Idx;        //左孩子结点的序号
 4     int rchdIdx = lchdIdx+1;    //右孩子结点的序号
 5 
 6     if (lchdIdx > eIdx)
 7     {
 8         return ;
 9     }
10     int crntVal = ary[Idx];
11 
12     int i = lchdIdx;//i是指向左或者右孩子的序号
13 
14     if (rchdIdx <= eIdx && ary[rchdIdx] > ary[lchdIdx])
15     {
16         i = rchdIdx;
17     }
18     if (crntVal > ary[i])
19     {
20         return ;
21     }
22     ary[Idx] = ary[i];
23     ary[i] = crntVal;
24     HeapAdjust_R(ary,i,eIdx); 
25 }

 

 

 

 

 

posted @ 2013-12-06 15:10  sjdang  阅读(709)  评论(0)  编辑  收藏  举报