算法学习记录-图——最小生成树之prim算法
一个连通图的生成树是一个极小的连通子图，它包含图中全部的顶点（n个顶点），但只有n-1条边。
最小生成树：构造连通网的最小代价（最小权值）生成树。
prim算法在严蔚敏树上有解释，但是都是数学语言，很深奥。
最小生成树MST性质：假设N=（V,{E}）是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集。若（u,v）是一条具有最小权值（代价）的边，
其中u∈U，v∈V-U，则必存在一颗包含边（u,v）的最小生成树。
prim算法过程为：
假设N=（V,{E}）是连通图，TE是N上最小生成树中边的集合。算法从U={u0}（u0∈V），TE={}开始，
重复执行下述操作：
在所有u∈U，v∈V-U的边（u，v）∈E中找一条代价最小的边（u0，v0）并入集合TE，同时v0 并入U，直至U=V为止。
此时TE中必有n-1条边，则T=（V，{TE}）为N的最小生成树。
我以图为例，看看算法过程。
上面基本就把prim算法思想给表达出来。
代码部分：
这里我使用的是邻接矩阵来表示图，其中边的值就是权值。
#define MAXVEX 100 #define IFY 65535 typedef char VertexType; typedef int EdgeType;
//静态图-邻接矩阵 typedef struct { VertexType vexs[MAXVEX]; EdgeType Mat[MAXVEX][MAXVEX]; int numVexs,numEdges; }MGraph;
VertexType g_init_vexs[MAXVEX] = {'A','B','C','D','E','F','G','H','I'};
EdgeType g_init_edges[MAXVEX][MAXVEX] = {
{0,11,IFY,IFY,IFY,9,IFY,IFY,6}, //'A'
{11,0,10,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,8}, //'B'
{IFY,10,0,17,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY},//'C'
{IFY,IFY,17,0,9,IFY,IFY,IFY,IFY},//'D'
{IFY,IFY,IFY,9,0,7,5,8,IFY}, //'E'
{9,IFY,IFY,IFY,7,0,3,IFY,IFY}, //'F'
{IFY,IFY,IFY,IFY,5,3,0,IFY,IFY}, //'G'
{IFY,IFY,IFY,IFY,8,IFY,IFY,0,IFY}, //'H'
{6,8,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,0}, //'I'
};
prim算法代码：
void prim(MGraph G,int num) { int sum=0; int min,i,j,k; int adjvex[MAXVEX]; int lowcost[MAXVEX]; lowcost[num] = 0; adjvex[num] = 0; for (i = 0; i < G.numVexs;i++ ) { if (num == i) { continue; } lowcost[i]=G.Mat[num][i]; //存放起始顶点到各个顶点的权值。 adjvex[i] = num; } for (i=0;i<G.numVexs;i++) { //1.找权最短路径 //2.把权最短路径的顶点纳入已找到的顶点集合中，重新查看新集合中最短路径 if(num == i) { continue; } min = IFY; j=0;k=0; while (j<G.numVexs) { if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) { min = lowcost[j]; k = j; } j++; } printf(" (%d,%d) --> ",adjvex[k],k); sum += G.Mat[adjvex[k]][k]; lowcost[k]=0; for (j=0;j<G.numVexs;j++) { if (j == num) { continue; } if (lowcost[j] != 0 && G.Mat[k][j] < lowcost[j]) { lowcost[j] = G.Mat[k][j]; adjvex[j]=k; } } } printf("\ntotal:sum=%d",sum); }
我写的是一个可以指定入口的（即从哪个点）开始进行。测试每个入口，得到的路径应该是一样，且值也应该一样大。
其中两个辅助数组:
lowcost[]：用来存放 非U集合的点与U集合点的权值的最小值。其【x】里面的数字x，表示U中到V中顶点Vx的最小权值。（每次都会更新比较，保证其最小。）
而归入到U集合的点，对应的lowcost中的元素是为0；之后就不再做比较。
adjvex[]：在每次归入新顶点后，都要对U与非U集合中权值比较，保持lowcost中的值为最小。此时改变的lowcost中的某个元素（即新纳入的顶点到非U集合的权值更小）
此时，将改变的lowcost中序号x，将新纳入的顶点Vt与原先U集合中与之相连的点的序号存入adjvex【x】。这样 adjvex【x】中，x就是那些个要更新的
lowcost【x】，adjvex【x】存放就是原先点。
这也方便查找新加入的边（adjvex【k】，k）。
基本上可以看出，adjvex【】作用：
实质上lowcost[x] 是 边（x，adjvex[x]）的权值。明白这一点，程序就非常好理解了。
完整程序：
// grp-mat-bfs-self.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。 // #include "stdafx.h" #include <stdlib.h> #define MAXVEX 100 #define IFY 65535 typedef char VertexType; typedef int EdgeType; bool g_visited[MAXVEX]; VertexType g_init_vexs[MAXVEX] = {'A','B','C','D','E','F','G','H','I'}; EdgeType g_init_edges[MAXVEX][MAXVEX] = { {0,11,IFY,IFY,IFY,9,IFY,IFY,6}, //'A' {11,0,10,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,8}, //'B' {IFY,10,0,17,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY},//'C' {IFY,IFY,17,0,9,IFY,IFY,IFY,IFY},//'D' {IFY,IFY,IFY,9,0,7,5,8,IFY}, //'E' {9,IFY,IFY,IFY,7,0,3,IFY,IFY}, //'F' {IFY,IFY,IFY,IFY,5,3,0,IFY,IFY}, //'G' {IFY,IFY,IFY,IFY,8,IFY,IFY,0,IFY}, //'H' {6,8,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,0}, //'I' }; EdgeType g_init_edges_bak[MAXVEX][MAXVEX] = { {0,1,IFY,IFY,IFY,1,IFY,IFY,1}, //'A' {1,0,1,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,1}, //'B' {IFY,1,0,1,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY},//'C' {IFY,IFY,1,0,1,IFY,IFY,IFY,IFY},//'D' {IFY,IFY,IFY,1,0,1,1,1,IFY}, //'E' {1,IFY,IFY,IFY,1,0,1,IFY,IFY}, //'F' {IFY,IFY,IFY,IFY,1,1,0,IFY,IFY}, //'G' {IFY,IFY,IFY,IFY,1,IFY,IFY,0,IFY}, //'H' {1,1,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,IFY,0}, //'I' }; //========================================================================== //静态图-邻接矩阵 typedef struct { VertexType vexs[MAXVEX]; EdgeType Mat[MAXVEX][MAXVEX]; int numVexs,numEdges; }MGraph; //==================================================================== //打印矩阵 void prt_maxtix(EdgeType *p,int vexs) { int i,j; for (i=0;i<vexs;i++) { printf("\t"); for (j=0;j<vexs;j++) { if( (*(p + MAXVEX*i + j)) == IFY) { printf(" $ "); } else { printf(" %2d ", *(p + MAXVEX*i + j)); } } printf("\n"); } } //check the number of vextex int getVexNum(VertexType *vexs) { VertexType *pos = vexs; int cnt=0; while(*pos <= 'Z' && *pos >= 'A') { cnt++; pos++; } return cnt; } bool checkMat(EdgeType *p,VertexType numvex) { int i,j; for (i=0;i<numvex;i++) { for(j=i+1;j<numvex;j++) { //printf("[%d][%d] = %d\t",i,j,*(p + MAXVEX*i + j)); //printf("[%d][%d] = %d\n",j,i,*(p + MAXVEX*j + i)); if (*(p + MAXVEX*i + j) != *(p + MAXVEX*j +i) ) { printf("ERROR:Mat[%d][%d] or Mat[%d][%d] not equal!\n",i,j,j,i); return false; } } } return true; } void init_Grp(MGraph *g,VertexType *v,EdgeType *p) { int i,j; // init vex num (*g).numVexs = getVexNum(v); //init vexter for (i=0;i<(*g).numVexs;i++) { (*g).vexs[i]=*v; v++; } //init Mat for (i=0;i<(*g).numVexs;i++) { for (j=0;j<(*g).numVexs;j++) { (*g).Mat[i][j] = *(p + MAXVEX*i + j); } } if(checkMat(&((*g).Mat[0][0]),(*g).numVexs) == false) { printf("init error!\n"); exit(0); } } void prim(MGraph G,int num) { int sum=0; int min,i,j,k; int adjvex[MAXVEX]; int lowcost[MAXVEX]; lowcost[num] = 0; adjvex[num] = 0; for (i = 0; i < G.numVexs;i++ ) { if (num == i) { continue; } lowcost[i]=G.Mat[num][i]; //存放起始顶点到各个顶点的权值。 adjvex[i] = num; } for (i=0;i<G.numVexs;i++) { //1.找权最短路径 //2.把权最短路径的顶点纳入已找到的顶点集合中，重新查看新集合中最短路径 if(num == i) { continue; } min = IFY; j=0;k=0; while (j<G.numVexs) { if (lowcost[j] != 0 && lowcost[j] < min) { min = lowcost[j]; k = j; } j++; } printf(" (%d,%d) --> ",adjvex[k],k); sum += G.Mat[adjvex[k]][k]; lowcost[k]=0; for (j=0;j<G.numVexs;j++) { if (lowcost[j] != 0 && G.Mat[k][j] < lowcost[j]) { lowcost[j] = G.Mat[k][j]; adjvex[j]=k; } } } printf("total:sum=%d\n",sum); } int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]) { MGraph grp; //init init_Grp(&grp,g_init_vexs,&g_init_edges[0][0]); //print Matix prt_maxtix(&grp.Mat[0][0],grp.numVexs); //prim(grp,4); int i; for (i=0;i<grp.numVexs;i++) { prim(grp,i); } //prim(grp,3); getchar(); return 0; }
测试结果：
最小生成树一样，而且总权值也一样。
